布羅卡爾三角形

布羅卡爾三角形(Brocard triangle)是一些特殊點構成的三角形：1.設S為△ABC的外心，K為它的陪位重心，以SK為直徑作圓，稱這個圓為△ABC的布羅卡爾圓，該圓交三邊的勒穆瓦納平行線於A′，B′，C′，則△A′B′C′稱為第一布羅卡爾三角形。2.若K為△ABC的陪位重心，連結AK，BK，CK，與△ABC的布羅卡爾圓分別交於A″，B″，C″，則△A″B″C″稱為第二布羅卡爾三角形。

基本介紹

• 中文名：布羅卡爾三角形
• 外文名：Brocard triangle
• 所屬學科：數學（平面幾何）
• 簡介：一些特殊點構成的三角形
• 相關概念：陪位重心，布羅卡爾圓

基本概念

如圖1，從△ABC的外心O0至類似重心K，以OK為直徑作圓，稱為布羅卡爾圓。

從O垂直於原三角形的各邊，作三線，交布羅卡爾圓於A'，B'，C'，那么△A'B'C'稱為第一布羅卡爾三角形。

從△ABC的各角頂至K，作三線，交布羅卡爾圓於A"，B"，C"，那么△A"B"C"稱為第二布羅卡爾三角形。

從△ABC的各角頂，平行於△A'B'C'的各邊，作三線，共交於一點S，該點稱為施泰納點。

圖1

相關證明

【例1】三角形的第一布羅卡爾三角形以布羅卡爾圓為外接圓。

圖2

分析 設中O為外心，K為類似重點，為正Brocard點，為負Brocard點，為第一Brocard三角形，如圖2，為證B₁在以OK為直徑的圓上，只須證明∠OB₁K=90°。

注意到△B₁A₂A₃是等腰三角形，底角等於ω，故B₁在A₂A₃的垂直平分線O₁O上，而且B₁O₁=。

因此，欲證OB₁⊥B₁K，只須證明B₁K//A₂A₃，為此，可證明K到A₂A₃的距離KK₁=B₁O₁=。

KK₁= KQ₃sinA₁，KQ₃：R=tgω，式中R表的外接圓半徑，故

故B₁在OK為直徑的圓上。同理可證B₂，B₃亦在此圓上，即第一Brocard三角形內接於Brocard圓。

【例2】與其第一布羅卡爾三角形有透視關係，即A₁B₁，A₂B₂，A₃B₃共點D。

證： 如圖2，A₁B₃，A₂B₁，A₃B₂共點，A₁B₂，A₂B₃，A₃B₁共點，即與有透視關係，又與有透視關係，與亦有透視關係，即A₁B₁，A₂B₂，A₃B₃交於一點D。

設過A₁，A₂而且切A₃A₁於A₁的圓，與過A₁，A₃而且切A₁A₂於A₁的圓交於點C₁，過A₂, A₃而且切A₁A₂於A₂的圓，與過A₂A₁而且切A₂A₃於A₂的圓交於點C₂，過A₃，A₁而且切A₂ A₃於A₃的圓與過A₃, A₂而且切A₃A₁於A₃的圓交於點C₃，則△C₁C₂C₃叫做的第二Brocard三角形。