布羅卡爾點

過△ABC的頂點A，B且與邊BC相切的圓，過頂點B，C且與CA相切的圓，過頂點C，A且與AB相切的圓，這三個圓相交於一點P。類似地，過A，B且與AC相切的圓，過B，C且與BA相切的圓，過C，A且與CB相切的圓，這三個圓也交於一點P’，稱P和P'為布羅卡爾點，在以上布羅卡爾點中，∠PAB=∠PBC=∠PCA，∠P'AC=∠P'CB=∠P'BA，上列等式中的六個角都相等，稱它為△ABC的布羅卡爾角。

基本介紹

• 中文名：布羅卡爾點
• 外文名：Brocard point
• 所屬學科：數學（平面幾何）
• 相關人物：克雷爾，布羅卡爾
• 簡介：刻畫三個圓相關位置的特殊點

基本介紹

布羅卡爾點(Brocard point)是刻畫三個圓相關位置的特殊點，在△ABC中，設C₁是過C而切AB於A的圓，C₂是過A而切BC於B的圓，C₃是過B而切CA於C的圓；又設C₁′是過C而切AB於B的圓，C₂′是過A而切BC於C的圓，C₃′是過B而切CA於A的圓，則C₁，C₂，C₃三個圓交於一點Ω；C₁′，C₂′，C₃′三個圓交於一點Ω′，點Ω和Ω′稱為△ABC的布羅卡爾點，Ω稱為正布羅卡爾點，Ω′稱為負布羅卡爾點，Ω與Ω′是△ABC的等角共軛點。布羅卡爾點具有性質：

∠ΩAB=∠ΩBC=∠ΩCA；

∠Ω′AC=∠Ω′CB=∠Ω′BA.

圖1布羅卡爾點

當這六個角相等時，稱為△ABC的布羅卡爾角。研究布羅卡爾點的有關性質的幾何內容稱為布羅卡爾幾何，點Ω和Ω′是由克雷爾(A.L.Crelle)首先發現的，但當時並未引起人們重視，布羅卡爾(P.R.J.B.H.Brocard)於1881年向法國科學進步協會提交的論文《三角平面一個新圓的研究》宣布布羅卡爾圓的重新發現，並由此產生布羅卡爾點、布羅卡爾三角形等概念。

例題解析

【例1】 (1)證明：△ABC記憶體在這樣的點P，使得∠ABP =∠CAP =∠BCP。

(2)在△ABC的邊上向形外作相似於它的△CA₁B，△CAB₁和△C₁AB(全部四個三角形第一個頂點的角相等，依此類推)，證明：直線AA₁，BB₁和CC₁相交於一點，並且這個點與問題(1)中的點P重合。點P稱為△ABC的布羅卡爾點。類似可證，還存在第二個布羅卡爾點Q，對於它滿足∠BAQ=∠ACQ=∠CBQ。

提示 立刻解問題(2)。首先證明，直線AA₁，BB₁和CC₁相交於一點，設△A₁BC和△AB₁C的外接圓相交於點O，則

∠(BO，OA) =∠(BO，OC) +∠(OC，OA) =∠(BA₁，A₁C) +∠(CB₁，B₁A) =∠(BA，AC₁) +∠(C₁B，BA) =∠(C₁B，AC₁)

即△ABC₁的外接圓也過點O，所以

∠(AO，OA₁) =∠(AO，OB) +∠(BO，OA₁) =∠(AC₁，C₁B) +∠(BC，CA₁) = 0°

也就是直線AA₁過點O，類似可證，直線BB₁和CC₁過點O。

現在證明，點O與所求的點P重合，因為∠BAP=∠A-∠CAP，所以等式∠ABP =∠CAP等價於等式∠BAP+∠ABP=∠A，即∠APB =∠B+∠C，對於點O最後的等式是顯然的，因為它位於△ABC₁的外接圓上。

【例2】(1)過△ABC的布羅卡爾點引直線AP，BP和CP，交外接圓於點A₁，B₁和C₁，證明:△ABC≌△B₁ C₁A₁。

(2)△ABC內接於圓S，證明：使直線PA，PB和PC與圓s的交點形成的三角形與△ABC全等的不同的點P不少於8個(假設直線PA，PB和PC與圓的交點不同於點A，B和C)。

提示 (1)我們證明， ，即AB= B₁C₁，實際上， ，而 ，所以。

(2)我們認為△ABC和△A₁B₁C₁內接於一個圓中，並且△ABC是固定的，而△A₁B₁C₁旋轉，直線AA₁，BB₁和CC₁交於一點不比△A₁B₁C₁的一個位置多，在此情況下可以產生12個不同的△A₁B₁C₁類:△ABC和△A₁B₁C₁可以使旋轉或軸對稱結合在一起；除此之外，三角形頂點的記號A₁，B₁和C₁可以對照六種不同的方法。

這12類不同三角形中有4類永遠不能給出所求的點P，對於一致有向三角形的除去△ABC≌△A₁B₁C，△ABC≌△C₁B₁A₁和△ABC≌△B₁A₁C₁的情況(例如，在△ABC≌△A₁B₁C的情況，點P是直線BC與B₁C₁的交點且對圓切於點A = A₁；△ABC和△A₁B₁C₁此時重合)，對於相反定向的三角形除去

△ABC≌△A₁B₁C₁的情況(在這種情況下AA₁// BB₁// CC₁)。

註：布羅卡爾點對應於相反定向三角形；對第一布羅卡爾點△ABC≌△B₁C₁A₁，而對第二布羅卡爾點△ABC≌△C₁A₁B_1。