布勞威爾-加當-華定理

簡介

抽象代數中，布勞威耳-加當-華定理是個有關除環的定理，以德國數學家 Richard Brauer、法國數學家埃利·嘉當、以及中國數學家華羅庚命名。

給定兩個除環

使得對於所有D中非零的x都有

（亦即，K的單位群是D的單位群的正規子群），則要么K被包含在D的中心，要么K=D。

除環（division ring），又譯反對稱體（skew field），是一類特殊的環，在環內除法運算有效。需要特別注意的是，此環內必有非0元素，且環內所有的非0量都有對應的倒數（比如說，對於x來說，存在數a，使得 a·x = x·a = 1）。除環不一定是交換環，比如四元數環。

換種說法，一個環是除環若且唯若其可逆元群包含了環中所有的非零元素。

交換的除環就是域，因此我們只需研究非交換的除環。除四元數環外，如果把四元數環中的係數由實數改為有理數，則仍構成一個除環。更一般地，若R是一個環，S是R上的一個不可約模，則S的自同態環是一個除環。

埃利·約瑟夫·嘉當（Élie Joseph Cartan，1869年4月9日─1951年5月6日），法國數學家，嘉當又譯卡當、卡坦。他在李群理論及其幾何套用方面奠定基礎。他也對數學物理，微分幾何、群論做出了重大貢獻。

在環中，所有可逆元素叫環的單位，所有單位對乘法可構成一個乘法群，叫環的單位群。對環（域）來說，單位群所有元素，和環（域）的所有元素有多少相同，有多少不同，可由環的素理想，分式理想，理想類群來度量。

整數環Z的單位只有1，-1，單位群同構於循環群C₂。模n 的剩餘類環Z_n單位群記為U（Z_n）。僅有U（Z₃），U（Z₄），U（Z₆），U（Z₈），U（Z₁₂），U（Z₂₄）非單位元的階均為2；非單位元的階均為其他素數p（p > 2）的單位群不存在。