層論是一種數學術語，其提供從局部到整體的一個有力工具。層論作為一個理論，其基本內容是層係數上同調論，這正好為流形上的整體分析提供了強有力的工具。
基本介紹
- 中文名：層論
- 外文名：Layer theory
- 適用範圍：數理科學
簡介,推廣,發展,套用,
簡介
層論是一種數學術語，其提供從局部到整體的一個有力工具。層論作為一個理論，其基本內容是層係數上同調論，這正好為流形上的整體分析提供了強有力的工具。
推廣
多複變函數論中著名的庫辛問題（庫辛第一問題與庫辛第二問題）是日本數學家岡潔利用了層係數的上同調論與全純域給出解答的。以層論為基礎，結合嘉當(Cartan,H.)與岡潔關於全純函式理想論的研究，發展為凝聚層的概念，利用凝聚層的理論，嘉當與塞爾(Serre,J.P.)得到施坦流形的基本定理——嘉當定理A與嘉當定理B。
發展
勒雷(Leray,J.)1945年發表的在戰俘營中講授代數拓撲的講義中包含著層論的萌芽，而在1946年的兩篇短文中正式引進層、層的上同調和譜序列等概念，接著從1947年起在法蘭西學院系統講授，而於1950年詳細發表。
嘉當在其討論班(1950-1951年間)發表了層論，採納了拉扎爾(Lazard,M.)的建議重新定義了層的概念。
這就是希策布魯赫(Hirzebruch, F.E.P.)1956年著作中採用的層（德文Gavbe），原來勒雷意義下的層將其中閉集改為開集後被稱為Gar-bendaten。在1966年的英文版中分別被譯成為sheaf和presheaf。
格羅騰迪克(Grothendieck,A.)在1957年又重新定義層的概念，並由哥德曼(Godement,R.)的書廣為傳播。預層概念與嘉當-拉扎爾的一樣，層定義為滿足附加兩條性質的預層，並且嘉當-拉扎爾的層被稱為平展空間。可以證明，嘉當-拉扎爾的說法與格羅騰迪克的說法是等價的。但由於這兩種講法已廣泛流傳，便派生出陳述上的困難。
套用
由於層論提供了整體分析研究的強有力的工具，它在數學的諸多分支如多複變函數論、複流形、解析幾何及代數幾何等均有廣泛的套用。
