局部群系(local formation of groups)是藉助於主因子由一組群系來定義的群系。群系是對取同態像與取有限次直積封閉的群類。
基本介紹
- 領域：數學
- 學科：群論
- 性質：群系
- 意義：有限可解群論的常用研究手法
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概念
局部群系(local formation of groups)是藉助於主因子由一組群系來定義的群系。若對每個素數p給定了一個群系F(p)，則可按下述方式規定一個有限群的群系F：有限群G∈F，若且唯若對G的每個主因子H/K及|H/K|的每個素因數p，
群系
對取同態像與取有限次直積封閉的群類。若群類F滿足以下兩個封閉條件，則稱此群類為群系：
1.若群G在F中，則G的任何同態像也在F中。
2.若MG，NG，G/M∈F，G/N∈F，則G/M∩N∈F。
自1963年格舒茲(Gaschütz，W.)引入群系概念並作出一些令人感興趣的結果以後，群系理論發展很快，各種群類的概念也應運而生。群系理論最初的成功在於它概括並發展了有限可解群的一些重要理論，提煉出了許多好概念。群系理論現已不僅僅限於有限可解群，也不僅僅用來研究群的群論性質與構造，群系本身的性質與構造也成為吸引人的課題.群的性質與群系作為一個整體的性質，二者互動作用，相互影響，使群系理論充滿活力。
有限群
具有有限多個元素的群，是群論的重要內容之一。其所含元素的個數，稱為有限群的階。歷史上，抽象群論的許多概念起源於有限群論。有限群可分為兩大類：可解群與非可解群(即單群)。
有限群的研究起源很早，其形成時期是與柯西、拉格朗日、高斯、阿貝爾以及後來的伽羅瓦、若爾當等人的名字相聯繫的。如何確定可解群和單群是抽象群理論建立後的一個重要發展方向。德國數學家赫爾德在1889年以後的若干年內，詳細地研究了單群和可解群，證明：一個素數階循環群是單群，n個(n≥5)文字的全部偶置換組成的交換群是單群。他還發現了許多其他有限的單群。赫爾德和若爾當還建立了在有限群中的若爾當—赫爾德合成群列和若爾當—赫爾德定理。在19世紀末，德國數學家弗羅貝尼烏斯、迪克和英國數學家伯恩塞德等都致力於可解群的研究。20世紀初伯恩塞德證明的關於pq(p、q是素數)必是可解群的定理，導致了對有限單群進行分類的重要研究。美國數學家湯普森和菲特在20世紀60年代初證明了有限群中長期懸而未決的一個猜想(見伯恩塞德猜想)：奇數階群一定是可解群。它推動了有限群理論的發展。有限單群的完全分類，即找出有限單群所有的同構類，經過上百名數學家約40年的共同努力，終於在1981年得到解決，這是數學史上的一個非凡成就。
群論
群是現代數學中最重要的具有概括性的概念之一，有關群的性質及其結構的理論稱為群論。
1831年，年僅20歲的青年數學家伽羅華得到n次方根可否通過對係數施行四則 和開方運算來求解的判據，一舉解決了五 次以上代數方程求解的千古難題。這個問 題得以解決，取決於他對置換群性質所作 的深入討論，群的概念就在這時產生了。 現在研究代數方程的性質與群的性質之間 的關係已成為一門大理論伽羅華理論所研 究的對象，伽羅華理論在群論的發展中起 作決定性的作用。40年後克萊因的變換群 導致幾何觀的一次革命; 索福斯·李研究 微分方程，開創李群論，更深刻影響著數 學物理的發展。在數學物理的對稱現象的 研究中，對稱的概念看來是明顯的，但對 對稱概念的精確和一般的描述，特別是對 稱性質量上的計算，卻要用群論這個工具 才行。19世紀到20世紀，在幾何、晶體等 物理、化學中，都弄清了對稱規律的重要 意義，因此群論的方法和結果得以廣泛使 用。1890年，費道洛夫用群論闡明晶體結 構的幾何形態，特別是20世紀30年代， 書爾、維格納等人把群論套用於量子力學 取得成功，導致了原子、分子結構的重要 發現。現在群論已經是量子物理和量子化 學常用的工具了，這更使群論走出了純數 學專業的數學王國，活躍於更廣闊的科學 地。今天，群的概念已普遍被認為是數學 及其許多套用中最基本的概念之一，它不 但滲透到像幾何學、代數拓撲學、函式論、 泛函分析及其他許多數學分支中而著重要 的作用，還形成了一些新學科，如拓撲群、 李群、代數群、算術群等。它們還具有與 群結構相聯繫的其他結構，如拓撲、解析 流形、代數簇等，並在結晶學、理論物理、 量子化學以至編碼學、自動機理論等方面 都有重要套用。作為推廣 “群” 的概念的 產物，群論及其在計算機科學中的套用， 也有很大的發展。
