《對偶的 Orlicz Brunn-Minkowski 理論及套用》是依託同濟大學，由熊革擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：對偶的 Orlicz Brunn-Minkowski 理論及套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：熊革
- 依託單位：同濟大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目將以經典的對偶混合體積理論和2010年以來蓬勃發展的凸體的Orlicz Brunn-Minkowski理論為基礎，綜合利用泛函分析、凸體幾何和變分的方法，重點研究對偶的Orlicz Brunn-Minkowski理論及其套用。具體包括：把經典的星體對偶混合體積推廣到Orlicz理論框架下； 探索經典力學中的慣性橢球（又叫Legendre橢球）在Orlicz對偶混合體積理論中的推廣物；研究 Orlicz對偶混合體積理論與 Orlicz混合體積理論的結合點和它們的交叉套用。 本項目的研究課題是凸體幾何在最近幾年的發展中自然面臨的問題, 它們緊密跟蹤了凸體幾何研究的國際主流和研究熱點, 亟待解決且具有一定的挑戰性。 開展本項目的研究必將有力的促進課題組成員走向凸體幾何研究的高點; 研究過程中所發展的概念和技巧必定會得到一些實質性的有意義的成果, 從而豐富凸體幾何的內涵。
結題摘要
本項目研究對偶的 Orlicz Brunn-Minkowski 理論及其套用，這一課題是國際凸體幾何學自2010年以來研究的熱點和主流。其研究的主要內容包含兩個方面：一方面是把經典的對偶 Brunn-Minkowski 理論推廣到Orlicz 理論框架之下；另一方面是建立對偶的 Orlicz BM 理論與 Orlicz BM 理論之間的聯繫。 申請者在Orlicz BM 理論框架下開展研究，得到了幾個深刻的結果。在本項目的資助下，已經發表 5 篇論文在國內外純數學的著名期刊上，如 Communications in Analysis and Geometry, International Mathematics Research Notices, Journal of Geometric Analysis, Geometriae Dedicata, Science China. Mathematics 上；題為“The mixed Lp John ellipsoids” 已被國際期刊 Advances in Geometry錄用； 另有一篇文章（標註了該基金號）投稿到 IMRN, 收到了非常正面並建議接受發表的審稿報告。目前文章在進一步審理之中。此外，在該基金的資助下，已經有 2 名博士（鄒都、胡家麒）順利畢業並獲得理學博士學位；3 名碩士 （商小曼、廖婷、汪雷雷）順利畢業並獲得理學碩士學位。 在該基金的支持下得到的重要成果包括：（1）提出並證明了一個新原理 （ Lp transference principle）：若定義在凸體類上的非負泛函是正齊次單調增且凹的，則該泛函是 p-凹的。 進一步的，若泛函還是嚴格增的，則不等式中等號成立若且唯若兩個凸體互為膨脹。作為該原理有效性的套用和實證，本文建立了幾個新的 Lp Brunn-Minkowski 型不等式。 文章發表在國際頂尖期刊 CAG 上。（2）解決了凸體幾何中的一個重要問題：當凸體滿足什麼條件時， 其John 橢球與 LYZ 橢球是一致的？ 這個問題由著名凸體幾何學家、紐約大學張高勇（Zhang Gaoyong）教授 2000 年提出。文章發表在國際著名數學綜合期刊 IMRN 上。
