對偶格

對偶格是向量格到實數域R的序有界線性運算元全體。克列因等人證明了巴拿赫格的序性質如何確定了對偶格的序性質。

基本介紹

• 中文名：對偶格
• 外文名：dual lattice
• 適用範圍：數理科學

簡介

對偶格是向量格到實數域R的序有界線性運算元全體。

設𝓛(X,Y)是向量格X到向量格Y的序有界線性運算元全體所成的集（這裡序有界是指把X中的任一序有界集映成Y中的序有界集），對任何φ₁，φ₂∈𝓛 (X,Y)，如果x≥0時，有φ₁(x)≥φ₂(x)，則定義φ_1≥φ₂，在此序關係下，𝓛(X,Y)也是向量格。

當Y序完備時，𝓛(X,Y)也是序完備的，稱p∈𝓛(X,Y)是正線性運算元，如果φ≥0。特別地，當Y為實數域R時，稱𝓛(X,R)為X的對偶格，記為X'，它是序完備的向量格。

性質

向量格X的對偶格與範數對偶空間相同，而且任何巴拿赫格的序對偶仍是巴拿赫格。

對f∈X'，f的正、負部分f⁺和f^-，以及絕對值|f|等滿足下列關係：

這裡x∈X，且x≥0。

發展

對偶研究是由克列因等人開始的，他證明了巴拿赫格的序性質如何確定了對偶格的序性質。