求完美長方體的棱長，即求下列方程組：
a^2+b^2=d^2
b^2+c^2=e^2
c^2+a^2=f^2
a^2+b^2+c^2=g^2
註：a、b、c是棱長，d、e、f是面對角線長，g是體對角線長。
它相當於在
歐拉長方體問題上再添上了最後的這個條件。
截止
2007年10月，還沒有找到任何完美長方體，亦未有人證明完美長方體不存在。若存在完美長方體，最小的完美長方體的奇數棱長不少於2.1 ×10^10。
（（整個實數整數，其實是從勾股定理引入了0，即a*a+b*b+0*0=g*g,將0進行變化，順應d e f也是非零整數
另一種完美長方體，即由實數擴展到 高斯整數。高斯整數（gaussian integer）是
實數部分（實部）和虛數部分（
虛部）都是整數的複數。 實數的完美長方體不存在，高斯整數的完美長方體還是未知數；對我而言。整個勾股定理，不管是實數還是高斯整數都是有規律的，可以從小到大排列。20多年來未找到同伴。實數的完美長方體很大可能性也是這個規律；高斯整數的的完美長方體，有部分是這個規律，還有部分不是這個規律。））
