安內定理是關於共點線的一個定理。若一圓周上有四點，以其中任三點作三角形，再作其餘一點的關於該三角形的西姆森線，則這些西姆森線交於一點。
基本介紹
- 中文名：安內定理
- 外文名：Anney theorem
- 適用範圍：數理科學
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簡介
安內定理是關於共點線的一個定理。
若一圓周上有四點，以其中任三點作三角形，再作其餘一點的關於該三角形的西姆森線，則這些西姆森線交於一點（如圖）。
圖1西姆森線
過三角形外接圓上異於三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線上的垂線，則三垂足共線，此線常稱為西姆森線或譯西摩松線（Simson line）。
證明
已知ΔABC外接圓上有一點P，過P向三邊所在直線作垂線，垂足分別是X、Y、Z，求證X、Y、Z三點共線。
證明：如圖，連線PB、PC，
因為∠AYP=∠BXP=90°，
所以A、Y、P、X四點共圓，
所以∠AYX=∠APX，
同理C、Z、Y、P四點也共圓。
所以∠ZYC=∠CPZ。
在ΔAXP和ΔCZP中，∠BXP=90°=∠CZP，∠PAX=∠PCZ
所以∠APX=∠ZPC，
所以∠AYX=∠ZYC。
因為∠AYX+∠XYC=180°，
所以∠ZYC+∠XYC=180°，
所以X、Y、Z三點在同一條直線上。
圖2