奇異邊界法

奇異邊界法是與基本解法相對應的一種邊界型無格線數值離散方法。該方法提出了源點強度因子的概念，克服了傳統基本解方法中最複雜最頭疼的虛擬邊界問題。

基本介紹

• 中文名：奇異邊界法
• 外文名：singular boundary method
• 類型：無格線數值離散方法
• 分類：邊界型
• 隸屬：力學術語、力學
• 套用學科：數學術語

概念解釋

奇異邊界法是與基本解法相對應的一種邊界型無格線數值離散方法。該方法提出了源點強度因子的概念，克服了傳統基本解方法中最複雜最頭疼的虛擬邊界問題。基於邊界元法中處理奇異積分的數值處理技術, 導出了源點強度因子的解析表達式, 提出了改進的無格線奇異邊界法, 並進一步將該方法套用於三維位勢問題。該方法消除了傳統方法中樣本點的選取, 在不增加計算量的前提下, 極大地提高了奇異邊界法的計算精度與穩定性。

基本原理

奇異邊界法的近似格式

本文以二維Helmholtz方程為例描述奇異邊界法的基本技術路線：

其中 是待求未知量， 為波數， 是空間坐標， 和 分別代表計算域及其邊界， 和 為已知函式。二維Helmholtz方程的基本解是

這裡 代表 和 兩點間的歐幾里得距離。

根據基本解法的原理，以基本解 為插值基函式，Helmholtz方程 的待求函式可以近似為

其中 是邊界離散點的數目， 為待求插值係數。當配點 和源點 重疊時， 不存在，即產生原點奇異性。為了避免基本解的奇異性，基本解方法的策略是將源點 虛擬地布置在物理域以外的虛假邊界上，而將配點 布置在真實的物理邊界上，即插值源點和配點是兩組完全不同的點。但到目前為止，對於複雜幾何域或多連通幾何域問題，如何較好地布置虛擬源點 以保證計算結果可靠和穩定收斂，仍是基本解方法中一個未能解決的關鍵問題。

奇異邊界法不同於基本解方法的關鍵之處在於，插值源點 和配點 是同一組物理邊界的離散點，因而不存在基本解方法中的虛假邊界選取問題。奇異邊界法的插值公式為：

這裡 是插值點的總數， 是待定插值係數。值得注意的是，插值公式 和 都用基本解為基函式，但插值公式 在配點 和源點 重合處，假設了一個源點強度因子（origin intensity factor） 。

將插值公式 代入方程 和 ，令 ，因為基本解滿足控制方程，我們得到下面矩陣形式的邊界條件離散代數方程：

源點強度因子 實際上是插值矩陣 的對角線元素。由於基本解的原點奇異性，我們不能夠簡單地用基本解插值基函式來計算 。理想的方法是從數學理論上導出一個計算源點強度因子的公式，但目前這是一個非常有挑戰性的數學物理問題。下面我們通過反插值技術來求解源點強度因子 。

反插值技術

注意到插值公式 和離散代數方程 中的待求插值係數 與邊界上的配點分布，邊界條件和右邊項有關，而源點強度因子 僅依賴於邊界條件和邊界上的配點分布，與右邊項無關。因而，我們可以設計一個反插值技術來計算對角線元素。

對方程 和 所描述的Helmholtz有限域問題，在其物理域的邊界上布置 個配點 ，在物理域內部布置 個計算輔助點 。對於有基本解的控制方程，容易發現它們的一些已知特解。對Helmholtz方程，有許多已知的簡單特解，例如 。利用插值公式 ，我們有

這裡 ， 是在邊界配點上的影響係數。因為輔助點和配點完全不重疊，因而沒有奇異性問題。由方程，我們就可以求得影響係數。

這裡內部輔助點的個數可以等於或多於邊界配點的數目。本文中採取兩種方案：

方案1——在物理區域內部布置與邊界配點相等數目的輔助點（即），可以得到插值方陣；

方案2——在物理區域內部布置輔助點的數目多於邊界配點數（即），可以得到插值矩陣，需用移動最小二乘近似求解。

下一步，我們將計算輔助點換成邊界源點，即配點和源點完全重疊在邊界上；我們有

這裡插值矩陣的非對角線元素可由公式得到。因而利用方程中求得的係數，我們就能用方程計算出關鍵的未知對角元素，即源點強度因子。

利用上面得到的源點強度因子，我們就可以用邊界插值公式，計算具有相同幾何形狀和控制方程的任意問題。