奇異上同調(singular cohomology)一種上同調群.設(X,A)是空間偶，G是任意交換群.記C(X,A)表示(X,A)的奇異鏈復形.定義(X,A)的係數在G中的q維奇異上鏈群。
概念解析
奇異上同調(singular cohomology)一種上同調群.設(X,A)是空間偶，G是任意交換群.記C(X,A)表示(X,A)的奇異鏈復形.定義(X,A)的係數在G中的q維奇異上鏈群
CY(X,A;C})=Hom(C4(X,A) ,G)，
這裡Hom(CQ(X,A),G)表示群C,,(X,A)到G的全體同態之集，它依照以G中誘導的二元運算成為一個交換群;上邊緣運算元
占:(} % (A;G)~CY+1(X,A;G)
定義為C(X,A)中邊緣運算元的對偶.即對於
C4任CI (A;G)，}(c")=CY。漢
於是，{C4(X,A;G),}}qEZ}是一個鏈復形，其q維同調群稱為(X,A)的係數在G中的q維奇異上同調群，記為Hq(X,A;G).係數在交換群G中的奇異上同調滿足係數在交換群G中的上同調理論的所有公理.與奇異同調理論類似，奇異上同調理論也是將每個拓撲空間(偶)聯繫上一系列交換群，稱為上同調群.從純代數觀點看，它的引人似乎更為自然.上同調理論可用於研究流形上的微分形式.此外，當係數群是一個有單位元的交換環時，上同調群上有一種自然的環結構，即上同調環，這是同調群上所沒有的.
