《多元樣條空間奇異性剖分結構的研究》是依託大連理工大學,由郭慶傑擔任醒目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：多元樣條空間奇異性剖分結構的研究
- 依託單位：大連理工大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：郭慶傑
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
樣條函式在數值逼近、計算幾何和工程計算等領域有著廣泛的套用。目前，一元樣條的理論較為完善，而多元樣條理論和套用中仍存在許多亟需解決的問題。當次數與光滑度接近時，樣條空間維數會出現奇異性，這是多元樣條與一元樣條本質差別之一，其在一定程度上制約了多元樣條的套用。已有研究表明，Morgan-Scott三角剖分和帶Ｔ圈的Ｔ格線上樣條空間維數是奇異的，而三角剖分與Ｔ格線恰好是最常用的兩類剖分，因此，對這些樣條空間的研究具有重要的理論和套用價值。本項目，我們提出剖分中存在某些特殊結構導致樣條空間維數出現奇異性這一觀點。基於此，我們一方面將深入開展樣條空間奇異性剖分結構的研究，討論Ｔ圈在幾何上的本質特徵，提煉出導致樣條空間維數不穩定的剖分結構；另一方面將研究保持樣條空間維數穩定的格線剖分，構造出此剖分上的性質好的樣條基函式，形成一類適合於數據處理和工程套用的多元樣條新方法。
結題摘要
樣條函式是分段或者分片光滑的多項式函式，其在計算機輔助幾何設計、計算機圖形學等領域有著廣泛的套用。一元樣條的理論研究較為完善，而多元樣條在理論和套用中仍存在很多尚未解決的問題。多元樣條與一元樣條有這一些本質上的差別，例如，在次數與光滑度接近時，多元樣條函式空間的維數會出現奇異性，在一定程度上制約了多元樣條的套用。在實際套用中，三角剖分與Ｔ格線是兩類常用的剖分，已有研究表明，Morgan-Scott三角剖分和帶Ｔ圈的Ｔ格線上樣條空間維數是奇異的，因此，對這些樣條空間的研究具有重要的理論和套用價值。本項目的研究中，一方面深入開展樣條空間奇異性剖分結構的研究，主要研究了T格線上樣條空間維數的不穩定性問題, 尤其是一種容易導致維數不穩定的特殊結構–嵌套T圈。給出了帶有2-嵌套和3-嵌套T圈的T格線上的樣條空間維數奇異性例子。發現維數的奇異性和T格線結構退化與每層T圈的奇異因子值有關。通過對T格線進行約束限制,給出了帶有N-嵌套T圈的T格線上的穩定的維數公式；另一方面，開展樣條函式在計算機輔助幾何設計與曲線曲面造型中的相關研究，提出了基於主導點選取和正則漸進疊代逼近的自適應B樣條曲線擬合算法以及正則二元B樣條曲面最小二乘擬合的疊代漸進逼近方法，將一元PIA方法的全正基性質擴展到了線性相關的二元非張量積型B樣條基函式。通過toric退化理論，定義了一類非均勻有理B樣條曲面的控制結構-正則控制曲面，證明其恰好是該NURBS曲面當所有權因子趨於無窮時的極限位置，並在理論上給出了toric曲面的正則控制曲面個數的求解方法，發展了NURBS曲面權因子的幾何意義。本項目組在國內外學術刊物上發表6篇論文，包括5篇SCI收錄的論文。組織召開1次國內學術研討會議，參加6次國內國際學術會議，與國內外學者開展交流合作。培養2名碩士研究生畢業，協助培養3名博士研究生畢業。
