基變數

對於線性規劃問題：min c^Tx，s.t.Ax=b，x≥0，其中m≤n，且m×n矩陣A的秩為m。由矩陣A的m個線性無關的列向量組成的m階方陣，記為B，稱之為基。一個基相應的變數x中的m個分量，叫作基變數(basic variable)，記為x_B (∈R^m)。

基本介紹

• 中文名：基變數
• 外文名：basic variable
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：線性規劃問題

基本介紹

基變數是從線性規劃標準式的n個設計變數中劃分出來的，已經或試圖通過m個等式約束用其餘變數線性表示的m個設計變數。常記為x_B。其餘的n-m個設計變數稱為非基變數，常記為x_N。令x_N =0，若能由m個等式約束解得x_B，則稱 (x_B，x_N)為問題的一個基本解。相應於設計變數的劃分，等式約束係數矩陣也劃分為B和N兩部分(B為可逆矩陣)，分別稱為基矩陣和非基矩陣。B 和N中的列向量又分別稱為基向量和非基向量。

相關介紹

考慮標準形式的線性規劃問題：

其中A為矩陣，

由於的秩為m，可知A中必存在m個列向量線性無關，不放就假設A的前m個列向量線性無關，記，B為方陣，。

令，代入（2）式得

所以

於是得到（2）的一個解

設B為A中任一非奇異的m×n階子矩陣()，則稱B為(LP)的一個基；若變數x_j所對應的列向量P_j包含在基B中，則稱x_j為對應於基B的基變數；否則稱x_j為非基變數。顯然基的個數至多個。

設(LP)有一個基，對應地記

令(2)式中非基變數為0，(2)式化為，所以

則稱方程組Ax=B的解：

其餘。

為對應於基B的基本解，在rank(A)=m的條件下，總存在基本解；當A的行向量線性相關時，沒有基本解；顯然基本解的個數至多有個。