線上性規劃問題的單純形法中，若標準化後找不到單位矩陣，可以採用人造基，給方程加入人工變數後，用大M法和兩階段法處理求解。是求解線性規劃問題的一種方式。
基本介紹
- 中文名：人工變數法
- 外文名：Artificial variable method
- 套用學科：組合數學、運籌學
- 適用領域範圍：線性規劃
- 方法：大M法和兩階段法
- 意義：求解特殊的線性規劃問題
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定律定義
其公式如下：
正如上式所展示的那樣，所有約束是(≤)，並且有非負右端項（bi≥0）的線性規劃，化為標準形式是在每個不等式的左端添加一個鬆弛變數，這時約束等式左端的係數矩陣就含有一個單位矩陣I，取這個單位矩陣為初始基，很容易得到一個初始基本可行解，從而建立單純形表。
但包含(=)和或（≥）約束條件則不是如此。對於（≥）型約束來說，標準化時需添加剩餘變數，其係數為-1，而對(=)型約束，則沒有鬆弛變數，因此存在這兩種約束條件標準化後缺少足夠的鬆弛變數的係數組成（諸如
）十分直觀的單位矩陣，也即無法不做變換地找到基本可行解。這時候可以利用人工變數x(artificial variables)類似鬆弛變數添加到等式中去，讓它們在第一次疊代起著鬆弛變數的作用，並隨後用某次疊代中再把這些人工變數去掉。
由於人工變數存在於初始基本可行解，而且人工變數是虛擬變數，它們在目標函式取極值時不應該存在數值，因此需要將它們從基變數中替換出來。若人工變數可以從基變數中替換出來，即基變數中不含有非零的人工變數，表示原問題有解；若人工變數不可以從基變數中替換出來，則表示原問題無可行解。
求解方法
大M法
如果是求極大值，即假定人工變數在目標函式中的係數為-M（M是任意大正數）；如果是求極小值，人工變數在目標函式中的係數為M。用單純形法對模型求解，如基變數中還存在M，就不能實現極值。
兩階段法
用計算機處理數據時，只能用很大的數代替M，可能造成錯誤，故多採用兩階段法。
第一階段：在原線性規劃問題中加入人工變數，構造模型。構造模型的目標函式為：
第二階段：在第一階段的最終表中，（1）去掉人工變數，（2）將目標函式的係數換成原問題的目標函式係數，作為第二階段計算的初始表，用單純形法計算。
求解結果
1、無可行解：運算到檢驗數全負為止，若仍含有人工變數在基可行解未進入非基變數，則無可行解。
2、退化：若計算出的用於確定換出變數的
有兩個以上最小值，會造成下一次疊代中有一個或幾個基變數等於零。
為避免退化，雖任意換出變數目標函式值不變，但此時不同的基卻表示為同一頂點，其特例是永遠達不到最優解，需作如下處理蘭特Bland規則：
(1)當
中出現兩個以上最大值時，選下標最小的非基變數為換入變數；
(2)當 中出現兩個以上最小值時，選下標最小的基變數為換出變數。
適用範圍
當存在(=)和或（≥）約束條件時使用該方法。
雖然標準化後可能存在單位矩陣可以不需要添加人工變數，但是它不具有代表性，而且人工變數法具有普適性，即使添加上了不妨礙結果，人工變數法比起尋找單位矩陣，無論在人工還是計算機計算時都有更高的可操作性。
