國際中學生奧林匹克數學競賽

國際奧林匹克數學競賽，簡稱IMO，是世界上影響最大的國際中學生數學大賽。

信息

獎項名稱:國際奧林匹克數學競賽

其他名稱:InternationalMathematicsOlympiad

創辦時間:1959年

主辦單位:由參賽國輪流主辦

國際奧林匹克數學競賽，簡稱IMO，是世界上影響最大的國際中學生數學大賽，其目的是：發現鼓勵世界上具有數學天份的青少年，為各國進行科學教育交流創造條件，增進各國師生間的友好關係。
IMO每年舉辦一屆，一般每屆約有100個國家和地區派隊參加，每隊最多可以派出6人，根據各位參賽選手6個題目的得分情況，大致按1：2：3的比例決定金、銀、銅牌獲獎者，獲獎者總數不超過參賽人數的一半。

獎項介紹

國際奧林匹克數學競賽是國際中學生數學大賽，在世界上影響非常之大。這一競賽1959年由東歐國家發起，得到聯合國教科文組織的資助。第一屆競賽由羅馬尼亞主辦，1959年7月22日至30日在布加勒斯特舉行，保加利亞、捷克斯洛伐克、匈牙利、波蘭、羅馬尼亞和蘇聯共7個國家參加競賽。以後國際奧林匹克數學競賽都是每年7月舉行（中間只在1980年斷過一次），參賽國從1967年開始逐漸從東歐擴展到西歐、亞洲、美洲，最後擴大到全世界。一般參加這項賽事的代表隊有80餘支。美國1974年參加競賽，中國1985年參加競賽。經過40多年的發展，國際數學奧林匹克的運轉逐步制度化、規範化，有了一整套約定俗成的常規，並為歷屆東道主所遵循。

國際奧林匹克數學競賽由參賽國輪流主辦，經費由東道國提供，但旅費由參賽國自理。參賽選手必須是不超過20歲的中學生，每支代表隊有學生6人，另派2名數學家為領隊。試題由各參賽國提供，然後由東道國精選後提交給主試委員會表決，產生6道試題。東道國不提供試題。試題確定之後，寫成英、法、德、俄文等工作語言，由領隊譯成本國文字。主試委員會由各國的領隊及主辦國指定的主席組成。這個主席通常是該國的數學權威。

職責

1）、選定試題；

2）、確定評分標準；

3）、用工作語言準確表達試題，並翻譯、核准譯成各參加國文字的試題；

4）、比賽期間，確定如何回答學生用書面提出的關於試題的疑問；

5）、解決個別領隊與協調員之間在評分上的不同意見；

6）、決定獎牌的個數與分數線。

考試分兩天進行，每天連續進行4.5小時，考3道題目。同一代表隊的6名選手被分配到6個不同的考場，獨立答題。答卷由本國領隊評判，然後與組織者指定的協調員協商，如有分歧，再請主試委員會仲裁。每道題7分，滿分為42分。

獎項設定

競賽設一等獎（金牌）、二等獎（銀牌）、三等獎（銅牌），比例大致為1：2：3；獲獎者總數不能超過參賽學生的半數。各屆獲獎的標準與當屆考試的成績有關。

國際賽史

在世界上，以數為內容的競賽有著悠久的歷史：古希臘時就有解幾何難題的比賽；我國戰國時期齊威王與大將田忌的賽馬，實是一種對策論思想的比賽；到了16、17世紀，不少數學家喜歡提出一些問題向其他數學家挑戰，有時還舉行一些公開的比賽，方程的幾次公開比賽，賽題中就有最著名的費爾瑪大定理：在整數n≥3時，方程沒有正整數解。

近代的數學競賽，仍然是解題的競賽，但主要在學生（尤其是高中生）之間進行。目的是為了發現與培育人才。

現代意義上的數學競賽是從匈牙利開始的。1894年，為紀念數理學會主席埃沃斯榮任教育大臣，數理學會通過一項決議：舉行以埃沃斯命名的，由高中學生參加的數學競賽，每年十月舉行，每次出三題，限4小時完成，允許使用任何參考書，試題以奧妙而奇特的形式見長，一般都有富創造特點的簡明解答。在埃沃斯的領導下，這一數學競賽對匈牙利的數學發展起了很大的作用，許多卓有成就的數學家、科學家是歷屆埃沃斯競賽的優勝者，如1897年弗葉爾、1898年馮卡門等。

受到匈牙利的影響，數學競賽在東歐各國蓬勃開展：1902年羅馬尼亞，1934年前蘇聯，1949年保加利亞，1950年波蘭，1951年前捷克斯洛伐克……相繼進行了數學競賽。

把中學生的數學競賽命名為“數學奧林匹克”的是前蘇聯，採用這一名稱的原因是數學競賽與體育競賽有著許多相似之處，兩者都崇尚奧林匹克精神。競賽的成果使人們意外地發現，數學競賽的強國往往也是體育競賽的強國，這給了人們一定的啟示。　1934年在列寧格勒，1935年在莫斯科，有關的國立大學分別組織了地區性的數學競賽，並稱之為“中學數學奧林匹克”。當時，莫斯科的著名數學家都參加了這一工作。前蘇聯的數學奧林匹克分為五級：學校奧林匹克，縣奧林匹克，地區奧林匹克，共和國奧林匹克，全國奧林匹克，再選出參加國際數學奧林匹克的六名代表。

對國際間組織數學競賽最熱心的是羅馬尼亞的教授羅曼。經過他的積級策劃，1959年7月，第一屆國際數學奧林匹克（簡稱IMO）在羅馬尼亞古都布拉索舉行，拉開了國際數學競賽的帷幕。當時參加競賽的學生共52名，分別來自東歐的羅馬尼亞、保加利亞、匈牙利、波蘭、前捷克斯洛伐克、前德意志民主共和國和前蘇聯等7個國家。每個國家有8名隊員，前蘇聯只派了4名隊員。以後（除1980年由於東道主蒙古經費困難而暫停）每年舉行一次，到1990年在我國舉辦第31屆時，已發展到54個國家和地區的308名選手。到1995年在加拿大舉辦第36屆時，雙增加到73個國家和地區，400多名選手。

競賽章程規定

（1）一年一度的IMO的東道國由參賽國（或地區）輪流擔任，所需經費由東道國負擔，整個活動由東道國出任主席，由各國領隊組成的主試委員會主持，試題和解答由參賽國提供，每國3—5題（也可不提供），東道國不提供試題，而由東道國組成選題委員會，對各國提供的試題進行評議與初選，主要考慮試題是否與以往的試題重複，並把試題按代數、數論、幾何、組合數學、組合幾何等分類，確定試題難度（A、B、C三級），選擇30題左右。如果這些題有新解法的話，還要求提供原解法以外的解答，譯成英文供主試委員選用。

（2）每個參賽團組織一個參賽隊，成員不超過8人，其中隊員不超過6人（是中學或同等級學校學生），正、副領隊各1人，考試分兩天兩試，每試3題，每試4.5小時，每題7分，所以每個選手的最高得分是42分。

（3）IMO的官方用語為英、法、德、俄語，而參賽國大約需要26種文字，屆時由各領隊把試卷譯成本國語言，並經協調委員會認可。度卷先由各國的正、副領隊評判，再與協調委員會協商（每個協調員負責一個試題的評分），如有分歧，由主試委員會仲裁，協商工作是在信任與友好的氣氛中進行的。

（4）IMO的獲獎人數約占參賽人數的一半，評獎根據分數段評出一、二、三等獎獲得者，其比例平均為1:2:3。此外，主試委員會還可因在某個試題上作出了非常漂亮（指思路簡捷巧妙，有獨創性）或在數學上有意義的解答的學生給予特別獎。

為避免再次出現1980年那樣的中斷，IMO設立一個專門的委員會（有的譯為場所委員會）負責確定各屆的東道主。

按IMO的規定，每一屆的東道主必須向上一屆的所有參賽國發出邀請，而新參加的國家則應當向東道主表明參加的意願，再由東道主發出邀請。

東歐外的國家中，第一個加入的是芬蘭（1965年第7屆），接著法國、英國、義大利、瑞典、荷蘭等也都在60年代陸續加入。1974年，美國、越南加入。此後，參加國逐年增加，並遍布歐、美、亞、非及大洋洲，IMO才成為名副其實的全球性的數學大賽。　 1988年第29屆，根據香港的建議，IMO首次設立了榮譽獎，獎給那些雖然未得金、銀、銅牌，但至少有一道題得滿分的選手。這一措施，大大調動了各參賽國及其參賽選手的積極性。

IMO的精神就是奧林匹克精神：“重要的不在於取勝，而在於參加。”據此，自1983年第24屆以來，雖然每一個代表隊（6個人為組員）都計算自己的總分，且知道按總分的順序排在多少名，但組織委員會不向團體優勝者頒獎，因為IMO只是個人的競賽，不是團體的競賽。

1981年第22屆，美國是IMO的東道主。美國數學奧林匹克委員會主席格雷策發信邀請我國參加，中國數學會覆信同意參加，後因故未能成行，只派了當時在美的訪問學者作為觀察員參加了。

到了1984年，在寧波召開的中國數學會首次普及工作會議上，確定1985年派兩名選手參加第26屆IMO，以了解情況、取得經驗。由於選拔時間倉促，只指派了北京、上海各1名優秀學生參加。結果有1人得三等獎，兩人平均成績與以色列第17位，兩人總分則排在32位。1986年起，我國均派6名選手參賽。

我國選手的輝煌成績，極大地激發了千百萬中學生學習科學文化知識的熱情，也極大地增強了中國人的民族自豪感。

國內賽況

我國的數學競賽起步不算晚。解放後，在華羅庚教授等老一輩數學家的倡導下，從1956年起，開始舉辦中學數學競賽，在北京、上海、福建、天津、南京、武漢、成都等省、市都恢復了中學數學競賽，並舉辦了由京、津、滬、粵、川、遼、皖合辦的高中數學聯賽；1979年，我國大陸上的29個省、市、自治區全部舉辦了中學數學競賽。此後，全國各地開展數學競賽的熱情有了空前的高漲。1980年，在大連召開的第一屆全國數學普及工作會議上，確定將數學競賽作為中國數學會及各省、市、自治區數學會的一項經常性工作，每年10月中旬的第一個星期日舉行“全國高中數學聯合競賽”。同時，我國數學界也在積極準備派出選手參加國際數學奧林匹克的角逐。1985年，開始舉辦全國國中數學聯賽；1986年，開始舉辦“華羅庚金杯”少年數學邀請賽；1991年，開始舉辦全國國小數學聯賽。

當前，我國的高中數學競賽分三級：每年10月中旬的全國聯賽；次年一月的CMO（冬令營）；次年三月開始的國家集訓隊的訓練與選拔。

對我國中學影響較大的還有美國中學生數學競賽。該賽也分三輪進行：美國中學數學競賽（AHSME），考試形式是30道選擇題，要求90分鐘內完成；美國數學邀請賽（AIMS），考15道空題，答案均為不超過999的正整數，要求3個小時內完成；美國數學奧林匹克（USAMO），這是美國國內水平最高的數學賽活動，每次考5道題，3.5小時內完成。

為使我國的數學競賽活動能廣泛而有序、深入而持久地開做好各級各類數學競賽的培訓選拔工作，國內採取了一系列有效措施。首先是創造數學競賽的良好場景；中國小組織各年的教學興趣小組活動，做到定時間、定地點、定輔導教師、定輔內容；對一些數學“苗子”開辦數學奧林匹克業餘學校，有計畫給以強化性的輔導與培訓。其次是增強數學競賽的輔導力量；各級數學奧林匹克教練員隊伍，不斷提高這支隊伍的輔導與教練素質。再次是最佳化數學競賽的輔導體系；編寫與出版基礎性的數學競賽培訓教材或輔導讀物，收集與整理國內外數學競賽資料，研究與提煉數學競賽題的解題思想方法及技能技巧，健全與完善數學競賽的選拔機制及輔導方式。

“全國國小數學奧林匹克”（創辦於1991年），它是一個“普及型、大眾化”的活動，分為初賽（每年3月）、夏令營（每年暑期）。

“全國國中數學聯賽”（創辦於1984年），採用“輪流做東”的形式由各省、市、自治區數學競賽組織機構具體承辦，每年4月舉行，分為一試和二試。

“全國高中數學聯賽”（創辦於1981年），承辦方式與國中聯賽相同，每年10月舉行，分為一試和二試，在這項競賽中取得優異成績的全國約90名學生有資格參加由中國數學會主辦的“中國數學奧林匹克（CMO）暨全國中學生數學冬令營”（每年元月）。

在“普及的基礎上不斷提高”的方針指引下，全國數學競賽活動方興未艾，特別是連續幾年我國選手在國際數學奧林匹克中取得了可喜的成績，使廣大中國小師生和數學工作者為之振奮，熱忱不斷高漲，數學競賽活動進入一個新的階段，為了使全國數學競賽活動持久、健康、逐步深入地開展，應廣大中學師生和各級數學奧林匹克教練員的要求，特制定《數學競賽大綱》以適應當前形勢的需要。

本大綱是在國家教委制定的“全日制中學數學教學大綱”的精神和基礎上制定的。《教學大綱》在教學目的一欄中指出；“要培養學生對數學的興趣，激勵學生為實現四個現代化學好數學的積極性”。具體作法是：“對學有餘力的學生，要通過課外活動或開設選修課等多種方式，充分發展他們的數學才能”，“要重視能力的培養……，著重培養學生的運算能力、邏輯思維能力和空間想像能力，要使學生逐步學會分析、綜合、歸納、演繹、概括、抽象、類比等重要的思想方法。同時，要重視培養學生的獨立思考和自學的能力”。

《教學大綱》中所列出的內容，是教學的要求，也是競賽的最低要求。在競賽中對同樣的知識內容的理解程度與靈活運用能力，特別是方法與技巧掌握的熟練程度，有更高的要求。而“課堂教學。為主，課外活動為輔”是必須遵循的原則。因此，本大綱所列的課外講授的內容必須充分考慮學生的實際情況，分階段、分層次讓學生逐步地去掌握，並且要貫徹“少而精”的原則，這樣才能加強基礎，不斷提高。

一試

全國高中數學聯賽的一試競賽大綱，完全按照全日制中學《數學教學大綱》中所規定的教學要求和內容，即高考所規定的知識範圍和方法，在方法的要求上略有提高，其中機率和微積分初步不考。

二試

平面幾何
基本要求：掌握國中競賽大綱所確定的所有內容。

補充要求：面積和面積方法。

幾個重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

幾個重要的極值：到三角形三頂點距離之和最小的點——費馬點。到三角形三頂點距離的平方和最小的點——重心。三角形內到三邊距離之積最大的點——重心。

幾何不等式。

簡單的等周問題。

了解下述定理：在周長一定的n邊形的集合中，正n邊形的面積最大。在周長一定的簡單閉曲線的集合中，圓的面積最大。在面積一定的n邊形的集合中，正n邊形的周長最小。在面積一定的簡單閉曲線的集合中，圓的周長最小。

幾何中的運動：反射、平移、旋轉。

複數方法、向量方法*。

平面凸集、凸包及套用。

代數

在一試大綱的基礎上另外要求的內容：　周期函式與周期，帶絕對值的函式的圖像。　三倍角公式，三角形的一些簡單的恆等式，三角不等式。　第二數學歸納法。　遞歸，一階、二階遞歸，特徵方程法。　函式疊代，求n次疊代*，簡單的函式方程*。　n個變元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及套用。　複數的指數形式，歐拉公式，棣美弗定理，單位根，單位根的套用。　圓排列，有重複的排列與組合。簡單的組合恆等式。　一元n次方程（多項式）根的個數，根與係數的關係，實係數方程虛根成對定理。　簡單的初等數論問題，除國中大綱中斯包括的內容外，還應包括無窮遞降法，同餘，歐幾里得除法，非負最小完全剩餘類，高斯函式[x]，費馬小定理，歐拉函式*，孫子定理*，格點及其性質。

立體幾何

多面角，多面角的性質。三面角、直三面角的基本性質。　正多面體，歐拉定理。　體積證法。　截面，會作截面、表面展開圖。

平面解析幾何

直線的法線式，直線的極坐標方程，直線束及其套用。　二元一次不等式表示的區域。　三角形的面積公式。　圓錐曲線的切線和法線。　因的冪和根軸。

其他

抽屜原理。　容斥原理。　極端原理。　集合的劃分。　覆蓋。

注釋

全國高中數學聯賽的二試命題的基本原則是向國際數學奧林匹克靠攏，總的精神是比高中數學大綱的要求略有提高，在知識方面略有擴展，適當增加一些課堂上沒有的內容作為課外活動或奧校的講授內容。

對教師和教練員的要求是逐步地掌握以上所列內容，並根據學生的具體情況適當地講授。

有*號的內容二試中暫不考，但在冬令營中可能考。