囿空間

囿空間(bornologic space)是一類局部凸空間，設E是局部凸空間，如果E中每個均衡凸的囿集都是零元的鄰域，則稱E是囿空間或有界型空間。局部凸空間是囿的，若且唯若在每個有界集上有界的半範數是連續的。設E是囿空間，E₁是局部凸空間，則由E到E₁的有界線性映射必是連續的。

基本介紹

• 中文名：囿空間
• 外文名：bornologic space
• 所屬學科：數學
• 別名：有界型空間
• 所屬問題：泛函分析(拓撲線性空間)

基本介紹

定義1 若是局部凸空間，如果上不能引入更強的局部凸拓撲，使其有界集與有界集一致，則稱為囿空間。

註：定義就是說，若，且有界集與有界集一致，則。

定理1 若是局部凸空間，則下列等價；

(1) X是囿空間；

(2) 吸收任意有界集的凸集都是0點鄰域；

(3) 任何在有界集上取值有界的半范是連續的。

證明：① 若X是囿空間，且V是吸收任意有界集的凸集，若V不是0點鄰域，則在0點鄰域子基中補上得到集，以為0點鄰域子基得到新的局部凸拓撲，顯然嚴格強於，且與有同樣的有界集，這與囿空間定義矛盾，故(1)(2)。

② 若X不是囿空間，則在X中可引入局部凸拓撲，使嚴格強於，且與有同樣的有界集，從而必存在0點鄰域，它不是0點鄰域，故(2)(1)。

③ 若X中吸收任意有界集的凸集是0點鄰域，又A是有界的。p是X的半范，且當時有，則。從而，故吸收任意有界集，因此，故p是連續的，所以(2)(3)。

④ 若X不是囿空間，則存在局部凸拓撲，使與有同樣的有界集，且存在一個凸的均衡吸收集V，它是的0點鄰域而不是的0點鄰域，故是在每個有界集上取值有界的半范，但不是公連續的．故(3)專(1)．口

註：任給局部凸空間，我們在X上可以引入一個局部凸拓撲，稱為，它是以吸收任何有界集的一切凸集為0點局部基。容易看到，是囿空間，有界集與有界集是一致的，且。

相關定理

定理2 任何賦可列半范的局部凸空間是囿空間，特別地，賦范空間是囿空間。

證明：不妨設

若存在一個吸收任何有界集的凸集V，它不是0點鄰域，令是相應的Minkowski泛函(不妨設V是均衡的)。

對X中任何有界集E，由於V吸收E，故有

但由於V不是0點鄰域，故對任何正整數n及，有⊄，，從而存在，所以，，但，令，當時，由(1)，

故是X中有界集，但，故

這與(2)矛盾。

定理3 設是局部凸空間，則X是囿空間若且唯若從X到任意局部凸空間Y的線性有界運算元是連續的。

證明：設X是囿空間，Y是局部凸空間，是線性有界運算元(有界指將有界集映成有界集)。設W是Y的0點凸鄰域，則是X中凸集，且吸收X中任意有界集(事實上，設E是X中有界集，則是Y中有界集，故存在，使，故)，由於X是囿空間，故V是0點領域，從而T是連續的。

又令是恆等運算元，由定理1的注知道是有界線性運算元，是局部凸空間，由假設條件知是連續的。從而，但另一方面，顯然，故，從而是囿空間。

推論1若X是囿空間，則X上的每個有界線性泛函必是連續的。

推論2 若X是Banach空間，Y是局部凸空間，則任何有界線性運算元必是連續的。