單調似然比分布族

單調似然比分布族(monotone likelihood ratio distribution family)是指似然比具有某種單調性質的分布族。對樣本X的實參數密度函式族P_θ(x)，x∈Rⁿ，θ∈Θ⊂R₁=(-∞，∞)，若存在實值函式T(x)，使得對任意θ<θ′ (θ，θ′∈Θ)，{f_θ(x)=f_θ′(x)}的機率為零，且比值P_θ′(x)/P_θ(x)是T(x)的單調非降(或非增)函式，則稱P_θ(x)為單調似然比分布族，對單調似然比分布族，其參數的單邊假設檢驗問題有UMP檢驗存在。

基本介紹

• 中文名：單調似然比分布族
• 外文名：monotone likelihood ratio distribution family 
• 所屬學科：數學（統計學）
• 所屬問題：參數統計推斷
• 定義：似然比具有某種單調性質的分布族

定義

設X樣本的密度族 ， 為 的子集。若 中不同的 對應於不同的分布，且存在統計量 ，使得對任何 ，似然比 作為 的函式只依賴於 ，又是 的非降(或非增)函式，則稱該分布族關於統計量 具有單調非降(或非增)似然比，簡稱單調似然比分布族(MLR族)。

相關定義與性質

定義1 設 為分布密度(或機率)族．若對任意的 ，

其中 為關於的嚴格遞增(遞減)函式，則稱分布族關於 有單調非降(非增)似然比。

命題對指數分布族若嚴格單調非降(非增)，則分布族關於有單調非降(非增)似然比。

定理設X的分布族關於有單調非降似然比，對及檢驗問題

i) 存在檢驗函式

且滿足

ii) 任何滿足式(2)的檢驗的功效函式是的非降函式。

iii) 滿足式(2)，式(3)的檢驗是檢驗問題(1)的水平的一致最有效檢驗。