基本介紹
- 中文名：哈密頓群
- 外文名：Hamilton group
- 領域：代數
- 性質：非交換群
- 子群：正規子群
- 對應概念：戴德金群
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概念介紹
哈密頓群(Hamilton group)是一類非交換群。若H不是阿貝爾群，H的每個子群都是正規子群，則稱H為哈密頓群。哈密頓群是四元數群、每個元素的階都是奇數的阿貝爾群以及方次數為2的阿貝爾群這三個群的直積。其中四元數群：
一般地，若一個群G的任何子群都是正規子群，稱G為戴德金群。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
子群
子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若對G的乘法也成為群，則稱H為G的子群，記為H≤G.若子群H≠G，則稱H為G的真子群，記為HG或簡記為H<G。任何一個非單位元群G至少有兩個子群，G自身以及由單位元e作成的單位元群{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子群。不是平凡子群的子群稱為非平凡子群。群G的非空子集H為G的子群的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H.若{Hi|i∈I}是G的子群的集合，I是一個指標集，則所有Hi的交Hi是G的一個子群。
正規子群
正規子群亦稱不變子群。一類重要的子群。在共軛作用下不變的子群。設H是群G的一個子群，若對任意的x∈G有Hx=xH，則稱H是G的一個正規子群，記為HG.子群H是G的正規子群的充分必要條件是對於任意的h∈H，x∈G，有xhx∈H.{e}和G是G的兩個正規子群，稱為G的平凡正規子群。
交換群
交換群(阿貝爾群)是指其運算適合交換律的群，或稱阿貝爾群。挪威數學家阿貝爾在研究高次方程的根式求解時，除了五次方程以外，他討論了更廣一類的方程，現稱之為阿貝爾方程。其全部根都是其中一個根的有理函式，設x1是n次阿貝爾方程的一個根，其全部根則為
，其中Qi(i=1，…，n-1)是有理函式，並且對於任意的1≤i≤j≤ n，有Qi(Qj(x1))=Qj(Qi(x1))。後人發現，阿貝爾方程是具有交換律的伽羅瓦群的方程。為了紀念阿貝爾，後人稱交換群為阿貝爾群。
交換群是一般群論中的一個獨特分支。在拓撲學和代數學中常常構造一些交換群，作為討論問題的工具。例如，拓撲學中的基本群、同調群，代數學中的布饒爾群等等。交換群論與代數拓撲學、模論、同調代數、環論等有著密切的聯繫。
人物簡介
哈密頓
英國數學家、物理學家。生於愛爾蘭都柏林(Dublin)，卒於都柏林。他自幼才智過人，5歲時能讀拉丁語、希臘語和希伯來語，14歲時已學會12種語言。1823年入都柏林三一學院學習。1827年被聘為該校天文學教授，並獲得皇家天文學家的稱號。1837—1845年任愛爾蘭皇家學院院長，並被選為多個科學院和學術機構的成員.1836年獲倫敦皇家學會皇家勳章。
哈密頓早年曾精讀牛頓(Newton，I.)和拉普拉斯(Laplace，P.-S.)的著作，1822年撰文指出拉普拉斯的《天體力學》中的一個錯誤，從此開始數學研究。他對數學的主要貢獻是創立了四元數理論和發展了變分法和微分方程理論.1835年，撰文詳細討論複數x+iy的性質，進而試圖尋找三維“複數”，由此導致創立了形如a+bi+cj+dk(a，b，c，d為實數)的所謂四元數，這是一種不同於實數系和複數系的新數系。四元數的出現，深化了人們對“數”的認識，推動了向量代數、向量分析和物理學的發展。哈密頓用分析的方法研究幾何光學，引入了特徵函式概念，並利用這一概念和最小作用原理(亦稱哈密頓原理)把光學和動力學的問題轉化為變分法問題.他建立的動力學方程稱為“哈密頓正則方程”，其中以廣義坐標和廣義動量作為獨立變數，代表總能量的函式H稱為“哈密頓函式”。這些結果在現代物理學中獲得廣泛套用。他的主要著作有《四元數講義》(1853)、《光束論》(1827)和《動力學一般方法》(1834)等。
戴德金
德國數學家。生於德國不倫瑞克(Braun-schweig) ，卒於同地。學于格丁根(Got-tingen)大學，是高斯的得意門生，曾在他指導下完成了一篇關於歐拉積分的博士論文。1854年留校任教。1858—1862年任瑞士蘇黎世(Zurich)工學院教授。1863年任布倫瑞克工學院教授。曾獲得這兩個學校的名譽博士學位。是哥廷根科學院、柏林科學院、巴黎科學院和羅馬科學院成員。戴得金的成就主要在代數理論方面。他研究了任意域、環、群、結構及模等問題，特別是引入了環的概念，並給理想子環下了一般定義。1855年他在講授伽羅瓦理論時引入域的概念，並超越伽羅瓦，用抽象群取代了置換群。1858年又給有限群下了一個抽象定義。1877年他注意到，他的代數數模可以推廣到元素不限於代數數而且運算可以普遍化，但必須要求每個元素有一逆元素，並且該元素是可換的，於是他給出一個抽象的有限交換群，並首次使用了可逆元素。戴德金是抽象代數學的真正創始人之一。他的代數數理論是高斯的復整數和庫默爾的代數數之一般化，以後他又用一種和庫默爾完全不同的方法著手重建代數數域中的唯一因子分解。他的理想理論實際上是普通分數的一般化。戴德金還引進換位子(commutator)和換位子群的概念，並用來證明了若干定理。此外，他對廣義複數理論也進行過細緻的研究。實數理論的建立是分析學發展史上的一個重大事件，戴德金為此做出了不可磨滅的貢獻。他在1872年提出用“分割”(或分劃)來定義無理數：用任何一種方法將有理數分為兩類，使得第一類中的每個數小於第二類中的每個數。用A1、A2分別表示這兩類數，(A1、A2)表示這種分割。在某些分割中，或者A1有最大數，或者A2有最小數，這種分割是由一個有理數確定的。當A1無最大數，A2亦無最小數時，這種分割就不是由有理數確定的，與之相應的是一個新數——無理數。從而對應於每個分割存在唯一的有理數或無理數。戴德金的無理數理論與歐多克索斯的比例論頗為類似，因此有人稱戴德金為“近代的歐多克索斯”。戴德金與高斯在性格、愛好及生活方式等許多方面都有驚人的相似之處。對他的研究工作影響較大的還有狄利克雷和黎曼。戴德金曾整理出版了他們的部分著作，並對其中某些問題作過深入探討。戴德金本人的著作中較為著名的有《連續性與無理數》(Stetigkeit undirrationale Zahlen，1872)和《數的意義》(Was sind und was sollen dieZahlen，1888)。在《數的意義》一書中他提出完全數學歸納法的邏輯理論以及算術本質的主要概念，還涉及到實數系的完備性問題，並用映射等概念研究了集合論的某些問題。戴德金的工作使他成為開創數學基礎研究新紀元的主要代表之一。
