向量平衡問題以及像空間分析方法

《向量平衡問題以及像空間分析方法》是依託重慶大學，由李聲傑擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：向量平衡問題以及像空間分析方法
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：李聲傑
• 依託單位：重慶大學

中文摘要

像空間分析方法為非凸、非光滑和非連續最佳化問題和變分不等式的一些理論提供了統一的研究架構。本項目擬藉助像空間分析方法，在固定和變動偏序結構下，研究向量平衡問題以及相關問題的誤差界、最優性條件和對偶。在沒辦法用投影運算元這個重要手段來分析無限維向量平衡問題的情況下，找到一些新思想、新方法和新技巧來研究向量平衡問題和向量變分不等式問題解的誤差界。通過探討非線性分離函式，研究向量平衡問題以及(Minty)向量變分不等式問題解的性質，得到解的最優性條件。在偏序向量空間中，研究向量形式的非線性分離函式以及向量形式的廣義Lagrangian函式，導出向量最佳化問題的各種對偶。研究它們之間零對偶間隙存在的充要條件以及一致對偶性。研究帶上下容量限制的向量交通網路系統模型均衡原理與向量變分不等式之間的關係,通過適當選取有利於算法設計的廣義Lagrangian函式，設計出求解多指標交通網路平衡問題平衡流的有效算法。

結題摘要

該項目對非凸、非光滑向量平衡問題的最優性條件、穩定性、誤差界、對偶理論以及魯棒性進行了深入的研究，在最優性條件研究方面，針對非凸非光滑向量最佳化問題，藉助一種非線性標量化函式，構造了一種特殊的非線性分離函式以及非線性Lagranian函式，建立了非凸非可微向量最佳化問題的Lagrangian型充分和必要最優性條件，也得到了該問題的一階Karush-Kuhn-Tucker最優性條件。由於集值映射沒有泰勒展開式，怎樣合理引入導數成為研究最佳化問題的關鍵，我們通過引入了一種新的集值映射二階複合相依上圖導數，研究了它的具體性質，然後研究了集值最佳化問題統一的二階必要和充分最優性條件。在穩定性方面，目前針對最佳化問題的集最佳化準則，人們主要集中在研究相應解的性質，很少有人研究解映射的穩定性。我們通過引入一種u-下水平映射，研究了這種下水平映射的上、下半連續性。然後研究了參數集值最佳化問題解映射的連續性。在對偶問題方面，我們建立了帶有Topical結構的約束最佳化的共軛對偶。首先，給出了一般約束最佳化的對偶問題，討論了基於抽象凸性理論的弱對偶性和強對偶性。然後，通過轉化零對偶間隙性質為像空間中兩個集的分離，利用圖像空間分析方法以及分離函式，得到了帶有Topical結構的約束最佳化的對偶框架。在間隙函式與誤差界方面，我們通過像空間分析，研究了具有錐約束的弱廣義Ky Fan不等式。首先，利用廣義拉格朗日函式的鞍點刻畫了錐約束弱廣義Ky Fan不等式的分離。然後，利用正則弱分離函式構造了錐約束弱廣義Ky Fan不等式的間隙函式和正則間隙函式，並利用這些間隙函式建立了其誤差界。在不確定最佳化問題的魯棒性方面，我們利用像空間分析方法，研究了嚴格魯棒對應條件下的一般標量魯棒最佳化問題，其中目標包含不確定性，約束也包含不確定性。此外，利用一種新的校正圖像的強度，建立了不確定最佳化問題與其像問題的等價關係，為解決極小極大問題提供了思路。此外，線上性和非線性（正則）弱分離函式的框架下，得到了魯棒弱選擇定理和魯棒最優性條件的充分刻畫。此外，還得到了標量魯棒最佳化問題的幾個充要最優性條件，特別是鞍點充要最優性條件。