合比性質

合比性質是數學分數計算中常用的性質之一，屬於合分比性質中的三大性質之一（包括合比性質、分比性質和合分比性質）。主要運用於三角函式等計算。

基本介紹

• 中文名：合比性質
• 外文名：Equivalence property
• 所屬學科：數學
• 套用：三角函式等計算

原理簡介

在一個比例里，第一個比的前後項的和與它後項的比，等於第二個比的前後項的和與它的後項的比，這稱為比例中的合比定理，這種性質稱為合比性質。

用字母表達為：若a/b=c/d，則(a±kb)/b=(c±kd)/d（b≠0、d≠0）

推導過程

當b≠0且d≠0時

書寫版推導表達

a/b=c/d

a/b±k=c/d±k

a/b±kb/b=c/d±kd/d

(a±kb)/b=(c±kd)/d

相關性質

分比性質：

在一個比例里，第一個比的前後項的差與它的後項的比，等於第二個比的前後項的差與它們的後項的比。

字母表達：若a/b=c/d,則(a-b)/b=(c-d)/d （b≠0、d≠0）

合分比性質：

在一個比例里，第一個比的前後項的和與它的前後項的差的比，等於第二個比的前後項的和與它的前後項的差的比。

字母表達：若a/b=c/d,則(a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d)（a≠b,c≠d,b≠0,d≠0）

等比性質：

若a1/b1=a2/b2=a3/b3=...=an/bn

則a1/b1=a2/b2=...=(a1+a2+a3+...+an)/(b1+b2+b3+...+bn)=an/bn

習題舉例

如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的角平分線，EF是AD的垂直平分線且交AB於E，交BC的延長線於F，求證：DC·DF=BD·CF分析：

例題圖

欲證：DC·DF=BD·CF

即證：DC/CF=BD/DF

即證：(DC+CF)/CF=(BD+DF)/DF （等式兩邊加上1）

若連結AF，則AF=DF

故即證：AF/CF=BF/AF

只需證△FAB∽△FCA

證明：

連結AF，則AF=DF，∠FAD=∠FDA

∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD

∴AF=DF

∴∠FDA=∠FAD

又∵∠FAD=∠CAD+∠CAF，∠FDA=∠B+∠BAD

∴∠B=∠CAF

∴△FAB∽△FCA。