合取是5個基本命題聯結詞之一 ，用符號∧表示 。符號∧讀作“並且”，是自然語言中的聯結詞“並且”的抽象 。令 p、q 表示任意命題 ，公式 p∧q 表示 p 和 q 的合取 ，稱為合取式 ，讀作“p 並且q”。p∧q是複合命題的“ p 並且q”的抽象 ，也是複合命題“ p 並且q”的命題形式 。p∧q 的真假由p 和q 的真假決定 。當 p 和q 皆真時 ，p∧q 為真 ，p、q 二者之一為假或二者皆假時 ，p∧q 為假 。
基本介紹
- 中文名：合取
- 外文名：Conjunction
- 所屬學科：邏輯學 離散數學
- 符號：∧
合取,合取範式,主合取範式,
合取
真值形式p∧q稱為 “合取式”，讀作 “p合取q"或 “p並且q” ，p、q都是p∧q的合取支。其中合取詞“∧”的意義是：當合取式的各個合取支都真時，該合取式為真；只要有一個合取支為假，該合取式為假。
於是，有下述真值表：
p | q | p∧q |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 0 |
改表的左半部列出了p和q的全部可能的真值組合：p可以取1、 0兩個真值。當p取值1時，q可以取1、0兩個值；當p取值0時，q可以取1、 0兩個值。於是全部可能的真值組合有4種：11、 10、 01、 01、00。p∧q只在11的組合下才取值1，在其他組合下都取值0。
上述真值表所刻畫的合取詞∧，只保留了各種聯言聯結詞所表示的聯言命題與其支命題之間的真假關係，而捨去了它們可能表示的並列、承接、遞進、轉折、對比等意義，以及由這種意義賦予各個支命題的某種順序關係，由此造成下述兩個結果，它們體現了合取詞∧與各種日常語言中的聯言聯結詞的最大不同之處：
(1)合取交換律成立，p∧q與q∧p總是取同樣的真值。一個合取命題成立與否，與其中合取支的順序無關。
(2)只要兩個合取支都是真的，相應的合取命題總是真的，不管其合取支之間是否有內容、意義上的關聯。
合取範式
如果一個命題公式可等價地表示為：
A1 ∧A2 ∧ … ∧An
其中A1，A2，…，An都是由命題變元或其否定所組成的析取項，則稱這種表示形式為合取範式。
例如，（P∨Q）∧（¬P∨R）∧（Q∨R）是合取範式。
但是，（P∧Q）∧（P→Q）∧（R→Q）不是合取範式，P∧Q，P→Q，R→Q都不是析取項。
把命題公式轉化為合取範式，其方法、步驟與命題公式轉化為析取範式的方法、步驟相似：
首先把命題公式中各類聯結詞轉化為 ∨，∧，¬，然後利用德摩根律把否定詞¬置於各個命題變元的前面，最後利用結合律和分配律（∨對∧的分配），把命題公式轉化為合取範式。
主合取範式
如果在一個含有n個變元的命題公式的合取範式中，每一個析取項都由這n個變元或其否定的析取組成，則稱這個合取範式為主合取範式。
例如，命題公式P∧Q的主合取範式為：
P∧Q⇔（P∨（Q∧¬Q））∧（Q∨（P∧¬P））
⇔（P∨Q）∧（P∨¬Q）∧（Q∨P）∧（Q∧¬P）
⇔（P∨Q）∧（P∨¬Q）∧（¬P∧Q）
由此可見，把合取範式化為主合取範式，主要是把合取範式的析取項中缺少的某些變元如P，Q等，用P∧¬P和Q∧¬Q等補上，再用分配律（∨對∧的分配）展開，合併相同的析取項後即得主合取範式。
