可行方向

可行方向是求解約束最最佳化問題中，保持可行性的搜尋方向。設f(x)，g_e(x)和h_a(x)都具有一階連續偏導數，X={x|g_e(x)≤0(e=1，2，…，p)；h_a(x)=0(a=1，2，…，q)}，設xº是一個可行點，即xº∈X，對於某一方向p來說，若存在數λ₀>0，使對於任意的λ(0≤λ≤λ₀)均有xº+λp∈X成立，則p是點xº處的一個可行方向。

基本介紹

• 中文名：可行方向
• 外文名：feasible direction
• 所屬學科：數理科學
• 套用：求解約束最最佳化問題
• 產生條件：可行條件、下降條件

整體介紹

一個設計點在可行域內是一個自由點，即在各個方向上都可以作出移動得到新點，如圖1所示，但一旦當設計點處於一個起作用約束上時，它的移動就會受到可行性的限制。此時點的可行方向s必滿足

條件，因為要使新點在內，必滿足，由於

其中，且對於充分小的常數，故式必定成立。此時，可行方向s與約束梯度向量的夾角大於90°，如圖1所示。

圖1 可行方向

式的極限情況是取等號，這時有

即可行方向s與該點的約束梯度向量垂直，也就是說，該點的可行方向就是該點約束面的切線方向t—t。

當某個設計點同時有幾個約束起作用時，如圖1中的x點是約束和約束約束面的交點，其可行方向集合

即圖中的陰影線內的任一方向都是可行方向。同理，當既有不等約束的起作用約束集合又有等式約束集合時，其x點的可行方向集合為：

產生可行方向的條件

可行方向是指沿該方向作微小移動後，所得到的新點是可行點，且目標函式值有所下降。顯然，可行方向應滿足可行和下降兩個條件。

可行條件

方向的可行條件是指沿該方向作微小移動後，所得到的新點為可行點。若點在一個約束面上，對點作約束面的切線，顯然滿足可行條件的方向應與起作用的約束函式在點的梯度的夾角大於或等於90°。

下降條件

方向的下降條件是指沿該方向作微小移動後，所得新點的目標函式值是下降的,滿足下降條件的方向應和目標函式在點的梯度的夾角大於90°。

可行方向的產生方法

滿足可行和下降條件的方向在可行下降方向區內，則在該區內尋找一個最有利的方向作為本次疊代的搜尋方向，關於這個方向的產生方法主要有隨機產生法、線性規劃法和梯度投影法幾種，具體方法及過程可參考後文相關參考書籍。

隨機產生法

這種方法從原理上講與隨機方向搜尋法產生的方法基本相同。先在點產生N個隨機單位方向向量，然後將產生的N個方向逐個進行可行性和下降條件的檢驗，用這種方法產生適用可行方向的優點是比較簡單，容易實現程式化。

線性規劃法

這種方法對線性和非線性的不等式約束最佳化問題均適應，但不能容納等式約束，是可行方向法中選擇適用可行方向的主要方法之一。這種方法的要點是：在可行下降扇形區內選擇一方向d進行搜尋，可得到一個目標函式值下降的可行點。

梯度投影法

梯度投影法有時也稱為大步梯度法，主要用於求解線性約束最佳化問題。當沿約束面進行尋優搜尋時，需要確定一個沿約束面運動的適用可行方向。