反對稱變換

反對稱變換(anti-symmetric transformation)是一種線性變換，設V是歐氏空間，σ是V的線性變換，若對任意α，β∈V，有(σ(α)，β)=-(α，σ(β))，則稱σ為V的反對稱變換。反對稱變換對於有限維歐氏空間V的任意標準正交基的矩陣是實反對稱矩陣，即為滿足條件A′=-A的實矩陣；反之，若線性變換關於V的標準正交基的矩陣是反對稱的，則σ是反對稱變換，反對稱變換的特徵值或是零，或是純虛數。

基本介紹

• 中文名：反對稱變換
• 外文名：anti-symmetric transformation
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：高等代數(歐幾里得空間) 
• 簡介：一種線性變換

基本介紹

針對對稱變換，我們把歐氏空間中對任意，滿足的線性變換叫做反對稱變換。

【例1】在歐氏空間R²中，規定線性變換σ為，證明：σ是反對稱變換。

證明： 因為對任意，有：

於是，

所以，

故σ是反對稱變換。

反對稱變換的性質

根據反對稱變換的定義，可以證得反對稱變換的以下一些性質：

定理1 歐氏空間V的線性變換σ是反對稱變換的充分必要條件是σ關於V的標準正交基的矩陣是反對稱矩陣。

證明 設是V的組標準正交基，且

於是，．

所以，σ是反對稱變換的充分必要條件是，即σ關於V的標準正交基f內矩陣是反對稱矩陣。

性質1 設σ是歐氏空間V的反對稱變換，如果V₁是σ的不變子空間，則也是σ的不變子空間。

證明 對任意的向量，有而V₁是σ的不變子空間，所以，故，於是得．因此，即是σ的不變子空間。

性質2 設σ是歐氏空間V的反對稱變換，則σ的特徵根是零或純虛數。

證明 設σ是歐氏空間V的反對稱變換，A是σ關於V的某個標準正交基的

矩陣，是A的任一特徵根，α是屬於特徵根的特徵向量，則有：

一方面，另一方面，有：

所以，但，從而，故反對稱實矩陣的特徵根是零或純虛數，即σ的特徵根是零或純虛數。

和對稱變換一樣，因反對稱變換與反對稱矩陣一一對應，所以反對稱變換所具有的性質，反對稱矩陣都具有，這裡從略。