卡普蘭斯基稠密性定理

卡普蘭斯基稠密性定理是關於C*代數的單位球在它生成的馮·諾伊曼代數的單位球中稠密的定理。

基本介紹

• 中文名：卡普蘭斯基稠密性定理
• 外文名：Kaplansky's density theorem
• 適用範圍：數理科學

簡介

卡普蘭斯基稠密性定理是關於C*代數的單位球在它生成的馮·諾伊曼代數的單位球中稠密的定理。

卡普蘭斯基稠密性定理斷言：若𝓐是希爾伯特空間H上有界線性運算元全體𝓑(H)的含I的巴拿赫∗子代數，則𝓐關於弱運算元拓撲（或強運算元拓撲）的閉包𝓜是馮·諾伊曼代數。記𝓐₁，𝓜₁分別為𝓐和𝓜的單位球（即範數≤1的元全體），則𝓐關於弱（或強）運算元拓撲在𝓜₁中稠密。

馮·諾伊曼代數

馮·諾伊曼代數亦稱弱閉對稱運算元環，是一類由運算元構成的弱閉的C*代數。

令𝓑(H)為希爾伯特空間H上有界線性運算元全體所成的C*代數，其中∗運算為取共軛。如果𝓜是𝓑(H)的含恆等運算元I的巴拿赫∗子代數（即自伴子代數），且關於𝓑(H)的弱運算元拓撲是閉的，則稱𝓜為馮·諾伊曼代數，常簡稱v.N.代數（關於運算元範數拓撲為閉的巴拿赫∗子代數是C*代數）。

C*代數

(C*-algebra)

C*代數是一類重要的巴拿赫∗代數。設R是巴拿赫∗代數，如果對R的每個元都有||x*x||=||x||2成立，則稱R為C*代數。

C*代數是蓋爾范德（部分與奈瑪克合作）等於20世紀40年代提出並做了系統而精美的研究，它在抽象調和分析、量子物理等領域中有重要作用。