《半空間中次調和函式的Matseav 定理》是依託北京工商大學，由張艷慧擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：半空間中次調和函式的Matseav 定理
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：張艷慧
- 依託單位：北京工商大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
近年來研究函式的增長性質成為位勢論中一個熱門的新方向。 許多物理問題都需要考慮函式的增長性，它是數學理論基礎同物理問題相結合的必然發展。 本項目基於單復變中經典的Matseav定理，擬研究高維空間中相關的新問題以改進最大模原理的結果，探索位勢論中的新思路，並提出新的方法。單復變中因為解析函式的實部和虛部都是調和函式，使得一些特殊的方法和技巧得以實現。但是這些不能在高維空間中平行推廣，因此需要逐步突破一些關鍵步驟，尋求有效的方法完整地解決該問題。 半個世紀以來國內外學者們對於在半平面和半空間中研究各類函式的Matseav 定理有著濃厚的興趣, 但都強加了一些條件。 本項目將從複分析的角度探索高維空間中次調和函式的Matseav定理， 去掉各種版本的強加條件，並且當 n=2 時能夠回到經典的單復變的結果。本項目將有助於深化單複分析同多復變、調和分析、偏微分方程、拓撲學、幾何測度論之間的聯繫。
結題摘要
本項目基於複分析的方法和技巧研究半空間中次調和函式的Matseav定理和四元數次調和函式的相關問題，主要研究了： (1) n維半空間中次調和函式上界的加細問題，即通過Carleman公式和Nevanlinna公式，由次調和函式的下界推導其上界； (2)半空間中如果調和函式的正部滿足一定的增長條件，可以由邊界上的積分表示出來，進一步減弱調和函式正部滿足的增長條件，得到由邊界上與測度有關的積分表示,證明了半空間中次調和函式的Phragmén-Lindelöf 定理，引入了半空間中的 C 類函式,並且得到了次調和函式屬於 C 類函式的一個充分必要條件； (3)四元數半空間中調和函式的積分表示和估計，四元數可測集上關於Fourier變換的不確定性原理及其在信號恢復中的套用，四元數Wigner分布和四元數模糊度函式的等價關係和相應的解析信號問題； （4）在n維非平凡的構造性的證明了半空間中次調和函式的Matseav定理。 隨著研究的深入，研究內容在原計畫上有所增加，在國內外重要雜誌上共發表與該課題相關的論文10篇，其中SCI檢索6篇，CSSCI檢索2篇，科學出版社出版專著1部。 項目組積極參加全國多復變學術年會、全國積分方程、邊值問題及其套用等國內外學術會議。項目組舉辦了“複分析及其套用”和“大數據及其套用”兩場小型學術研討會。 本項目的研究將經典的複分析方法和技巧套用到高維空間，特別是在n維歐式半空間中從增長性的角度研究調和函式的積分表示和次調和函式的Matseav定理等問題，形成了自己的特色。本項目的研究不僅拓展了調和分析和偏微分方程研究的新領域，還可進一步用於解決偏微分方程問題和醫學圖像處理、金融統計等問題，具有十分重要的理論價值和實際意義。
