半正多面體

半正多面體(semiregular solid) 亦稱“阿基米德體”、“阿基米德多面體”，是由邊數不全相同的正多邊形為面的多面體。如將正方體沿交於一頂點的三條棱的中點截去一個三稜錐，如此共可截去八個三稜錐，得到一個有十四個面的半正多面體，它們的邊都相等，其中八個為正三角形，六個為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體。類似地，若以正方體的各個頂角為圓心，以面之對角線之半為半徑作弧截各邊，每邊得兩交點。依交點於面上作與邊平行的縱橫呈井字形線，共有二十四個交點，即得四十八等邊體之角頂，依各角頂削原體，即成四十八等邊體，設原正方體棱長為a，則四十八等邊體的棱長為a(√2－1)。

基本介紹

• 中文名：半正多面體
• 外文名：semiregular solid
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：立體幾何（多面體）
• 別稱：阿基米德體、阿基米德多面體

定義

多面體的多面角都契約，當這些多面角由兩種(及)以上正多邊形構成，則多面體稱為半正多面體。例如把正四面體一條棱各三等分，沿三等分點從原體割去四個小正四面體，餘下的多面體就成為半正多面體，它的多面角都契約，這些多面角都由1個正三角形，2個正六邊形構成。這一半正多面體我們記為3·6²。

阿基米德發現了全部13個可能的所謂半正多面體。正多面體的面都是同一類型的正多邊形，而半正多面體是一個凸多面體，它的面也是正多邊形，但並非全都是同一種類型。例如，如果我們從一個立方體a的8個角上各切掉一個邊長為的四面體，結果得到的圖形就是一個半正多面體，或稱阿基米德多面體，其表面由8個等邊三角形和6個正八邊形構成。

種類

命題半正多面體（表1）有13種：

我們用表示每一多面角由r個正m邊形，s個正n邊形，t個正p邊形構成的半正多面體。

表 1 13種半正多面體

種類		面數F	頂點數V	棱數E	體積為1的棱長
	3·6^2	8	12	18	0．717
	3·4·3·4	14	12	24	0．445
	4·6^2	14	24	36	0．263
	3·8^2	14	24	36	0．419
	3·5·3·5	32	30	60	0．227
	5·6^2	32	60	90	0．486
	3·4^3	26	24	48	0．751
	3^4·4	38	24	60	0．417
	3·10^2	32	60	90	0．287
	3·4·5·4	62	60	120	0．502
	4·6·8	26	48	72	0．296
	3^4·5	92	60	150	0．288
	4·6·10	62	120	180	0．169

命題 半正多面體只有13種。

證明我們記每一多面角頂點圍繞s個正多邊形，其中s₁個正r₁邊形，s₂個正r₂邊形，......s_n個正r_n邊形，s=s₁+s₂+...+s_n，又設此半正多面體中共有個正r₁邊形，個正r₂邊形，....，個正r_n邊形，則

而

又

把(i)~ (iii)代人Euler示性數公式v+f=e+2，並進行整理，得到半正多面體的特徵方程：

性質

半正多面體有以下性質:

性質1，這是顯然的。

性質2中至少有一個應小於6。

證明 反證法。如果所有，那么特徵方程將是：

故v<0，引起矛盾。

性質3s<6。

證明直接從特徵方程計算，由性質1得

解得s<6。

綜合性質1和性質3，我們有

（更加細緻的討論請參考相應書籍）。