半正多面體

半正多面體

半正多面體(semiregular solid) 亦稱“阿基米德體”、“阿基米德多面體”,是由邊數不全相同的正多邊形為面的多面體。如將正方體沿交於一頂點的三條棱的中點截去一個三稜錐,如此共可截去八個三稜錐,得到一個有十四個面的半正多面體,它們的邊都相等,其中八個為正三角形,六個為正方形,稱這樣的半正多面體為二十四等邊體。類似地,若以正方體的各個頂角為圓心,以面之對角線之半為半徑作弧截各邊,每邊得兩交點。依交點於面上作與邊平行的縱橫呈井字形線,共有二十四個交點,即得四十八等邊體之角頂,依各角頂削原體,即成四十八等邊體,設原正方體棱長為a,則四十八等邊體的棱長為a(√2-1)。

基本介紹

  • 中文名:半正多面體
  • 外文名:semiregular solid
  • 所屬學科:數學
  • 所屬問題:立體幾何(多面體)
  • 別稱:阿基米德體、阿基米德多面體
定義,種類,性質,

定義

多面體的多面角都契約,當這些多面角由兩種(及)以上正多邊形構成,則多面體稱為半正多面體。例如把正四面體一條棱各三等分,沿三等分點從原體割去四個小正四面體,餘下的多面體就成為半正多面體,它的多面角都契約,這些多面角都由1個正三角形,2個正六邊形構成。這一半正多面體我們記為3·62
阿基米德發現了全部13個可能的所謂半正多面體。正多面體的面都是同一類型的正多邊形,而半正多面體是一個凸多面體,它的面也是正多邊形,但並非全都是同一種類型。例如,如果我們從一個立方體a的8個角上各切掉一個邊長為
的四面體,結果得到的圖形就是一個半正多面體,或稱阿基米德多面體,其表面由8個等邊三角形和6個正八邊形構成。

種類

命題半正多面體(表1)有13種:
我們用
表示每一多面角由r個正m邊形,s個正n邊形,t個正p邊形構成的半正多面體。
表 1 13種半正多面體
種類

面數F
頂點數V
棱數E
體積為1的棱長

3·62
8
12
18
0.717

3·4·3·4
14
12
24
0.445

4·62
14
24
36
0.263

3·82
14
24
36
0.419

3·5·3·5
32
30
60
0.227

5·62
32
60
90
0.486

3·43
26
24
48
0.751

34·4
38
24
60
0.417

3·102
32
60
90
0.287

3·4·5·4
62
60
120
0.502

4·6·8
26
48
72
0.296

34·5
92
60
150
0.288

4·6·10
62
120
180
0.169
命題 半正多面體只有13種。
證明我們記每一多面角頂點圍繞s個正多邊形,其中s1個正r1邊形,s2個正r2邊形,......sn個正rn邊形,s=s1+s2+...+sn,又設此半正多面體中共有
個正r1邊形,
個正r2邊形,....,
個正rn邊形,則
把(i)~ (iii)代人Euler示性數公式v+f=e+2,並進行整理,得到半正多面體的特徵方程:

性質

半正多面體有以下性質:
性質1
,這是顯然的。
性質2
中至少有一個應小於6。
證明 反證法。如果所有
,那么特徵方程將是:
故v<0,引起矛盾。
性質3s<6。
證明直接從特徵方程計算,由性質1得
解得s<6。
綜合性質1和性質3,我們有
(更加細緻的討論請參考相應書籍)。

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