十七等分圓是指尺規作圖正十七邊形。曾是一個遺留很久的難題，後來被高斯解開
基本介紹
- 中文名：十七等分圓
- 外文名：Seventeen uniform circle
尺規作法,歷史,正十七邊形的證明方法,
尺規作法
步驟一：
給一圓O，作兩垂直的半徑OA、OB，
在OB上作C點使OC=1/4OB，
在OA上作D點使∠OCD=1/4∠OCA，
作AO延長線上E點使得∠DCE=45度。
步驟二：
作AE中點M，並以M為圓心作一圓過A點，此圓交OB於F點，
再以D為圓心，作一圓過F點，此圓交直線OA於G4和G6兩點。
步驟三：
過G4作OA垂直線交圓O於P4，
過G6作OA垂直線交圓O於P6，
則以圓O為基準圓，A為正十七邊形之第一頂點P4為第四頂點，P6為第六頂點。
連線P4P6，以1/2弧P4P6為半徑，在圓上不斷截取，即可在此圓上截出正十七邊形的所有頂點。
歷史
最早的十七邊形畫法創造人為高斯。高斯(1777~1855年)，德國數學家、物理學家和天文學家。在童年時代就表現出非凡的數學天才。三歲學會算術，八歲因發現等差數列求和公式而深得老師和同學的欽佩。1799年以代數基本定理的四個漂亮證明獲得博士學位。高斯的數學成就遍及各個領域，其中許多都有著劃時代的意義。同時，高斯在天文學、大地測量學和磁學的研究中也都有傑出的貢獻。
1801年，高斯證明：如果k是質數的費馬數，那么就可以用直尺和圓規將圓周k等分。高斯本人就是根據這個定理作出了正十七邊形，解決了兩千年來懸而未決的難題。
道理
當時，如果高斯的老師告訴了高斯這是道2000多年沒人解答出來的題目，高斯就不會畫出這個正十七邊形。這說明了你不怕困難，困難就會被攻克，當你懼怕困難，你就不會勝利。
正十七邊形的證明方法
正十七邊形的尺規作圖存在之證明:
設正17邊形中心角為a,則17a=360度,即16a=360度-a
故sin16a=-sina,而
sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a
因sina不等於0,兩邊除之有:
16cosacos2acos4acos8a=-1
又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有
2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1
注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令
x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a
y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a
有:
x+y=-1/2
又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)
=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)
經計算知xy=-1
又有
x=(-1+根號17)/4,y=(-1-根號17)/4
其次再設:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a
y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a
故有x1+x2=(-1+根號17)/4
y1+y2=(-1-根號17)/4
最後,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2
可求cosa之表達式,它是數的加減乘除平方根的組合, 故正17邊形可用尺規作出
