基本介紹
- 中文名：區間代數
- 外文名：interval algebra
- 領域：數學
- 性質：特殊的布爾代數
- 對象：線性序集
- 生成方式：線性序擴充而來
代數概念,線性序集,代數公式,代數發展,
代數概念
區間代數(interval algebra)是一種特殊的布爾代數。設L是有首元素OL的線性序集，將L的線性序擴充到L∪{∞}，其中∞是不在L中的一個元素，並且規定對每一個x∈L，x<∞.對任意x，y∈L∪{∞}，集合[x，y)={z∈L|x≤z<y}稱為L的由x與y決定的半開區間。設A是由L的所有可以表示為有限個半開區間的並的子集所構成的集合，那么A對集合的並、交、補運算構成布爾代數，稱為L的區間代數。當L沒有首元素時也可構成區間代數。布爾代數A同構於一個區間代數若且唯若它由一個鏈CA所生成。
線性序集
線性序集亦稱線性序集。又稱鏈。一類重要的偏序集。若偏序集P適合公理P4：若對任意x，y∈P，x<y，y<x，x=y三式中有且僅有一式成立，則稱P為全序集。全序集中的關係≤稱為全序或線性序。若偏序集P的子集C作為子偏序集是全序集，則稱C是P中的鏈；若C是非序的，則稱C為P的反鏈。實數集及其任何子集在通常的≤關係下是全序集。
設(A，≤)是偏序集，如果(A，≤)中的關係≤滿足條件：對於任意的a，b∈A，a≤b或b≤a至少有一個成立，那么就稱關係≤為序關係，稱A為在這個關係下的全序集(也稱有序集)。
若兩個全序集的元素相同，並且序關係也相同，則稱這兩個全序集是相同的。即：
(A1，≤1)=(A2，≤2)⇔A1=A2且≤1=≤2
當用列舉法表示全序集時，通常規定從左到右表示元素的順序.例如，設N為自然數集，關係≤為平常的數的小於或等於關係，則全序集(N1，≤)表示為{1，2，3，…};若序關係≤定義為：
則全序集(N，≤*)表示為{…，3，2，1}
代數公式
又稱“邏輯代數”，是英數學家、邏輯學家布爾(George Boole 1815-1864)所創立的一個代數系統。布爾認為，邏輯關係和某些數學運算甚為類似，代數系統可以有不同的解釋，把解釋推廣到邏輯領域，就可以構成一種思維的演算。他在其著作《邏輯的數學分析》(1847年)及《思維規律》(1854年)中引進了邏輯代數基本概念，構成了一個抽象代數系統。用這種系統可以較容易地處理傳統邏輯所不能處理的邏輯問題。布爾對他的代數系統給了四種解釋：一種是類演算，兩種是命題演算，一種是機率演算。
經過後來數學家的進一步改進，布爾代數成為如下的一個數學系統：設B是一個至少有兩個元素的集合，其中定義兩種運算：+(邏輯加法)。*(邏輯乘法)，B中元素對於這兩種運算，如果滿足下面公理：對任意的x，y，z∈B，
公理1：x+y=y+x;x*y=y*x
公理2：x*(y+z)=(x*y)+(x*z)
x+(y*z)=(x+y)*(x+z)
公理3：B中有元素0和1滿足：
x+0=x;x*1=x;
公理4：對任意x∈B，有x′∈B，使
x+x′=1;x*x′=0;則稱B為一個布爾代數。
例如，令B={0，1}，讓1表示真命題，0表示假命題，定義+運算如下：
0+0=0;0+0=1;1+0=1;1+1=1;定義*運算如下：
0*0=0;0*1=0;1*0=0;1*1=1;
則它表示的就是一個命題代數系統。由於有1+1=1，它不同於一般的代數系統。
在布爾代數的基礎上，人們又發展了開關代數。開關代數在組合電路、電路網路中有極大的套用價值。
代數發展
布爾代數也屬於一種特殊的代數。布爾(Boole，G.)於1847年及1854年研究思維規律(邏輯學、數理邏輯)時提出的，而它作為一種特殊的格則是由戴德金(Dedekind，J.W.R.)後來提出的.所謂布爾代數，是指一個有序的四元組(B;∧，∨，′)，其中B是非空集合，∧和∨分別是B上的二元運算，而“′”是定義在B上的一個一元運算，並且滿足下列條件：對任意a，b，c∈B
1.a∧b=b∧a，a∨b=b∨a.
2.a∧(b∧c)=(a∧b)∧c，
a∨(b∨c)=(a∨b)∨c.
3.a∧(a∨b)=a，a∨(a∧b)=a.
4.(a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a)
=(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a).
5.(a∧a′)∨b=b，(a∨a′)∧b=b.
1904年，亨廷頓(Huntington，E.V.)發現：若集合A有一個二元運算∨和一個一元運算 ′，定義a∧b=(a′∨b′)′，並滿足：
1.a∨b=b∨a;
2.a∨(b∨c)=(a∨b)∨c;
3.(a∧b)∨(a∧b′)=a;
則A是布爾代數.這是布爾代數的一個典型結果。1967年、1968年，戈萊茲(Gra¨tzer，G.)和莫肯濟(Mckenzie，R.N.)、塔爾斯基(Tarski，A.)分別獨立地進一步發現布爾代數可僅用一個恆等式來定義。
