劈錐曲面

設A為與三維向量空間E相關聯的仿射空間，D為A的仿射直線，P為E的平面，稱與D相交且平行於P的仿射直線的並所構成的曲面C為以D為軸以P為方向平面的劈錐曲面(conoid)。這些直線稱為C的母線，稱與C的所有母線相交而不與D相交的曲線為C的準線，當A為歐幾里得空間且D垂直於P時，稱劈錐曲面C是正劈錐曲面。

基本介紹

• 中文名：劈錐曲面
• 外文名：conoid
• 所屬學科：數學（立體幾何）
• 性質：一種曲面
• 分類：拋物劈錐曲面、圓劈錐曲面

基本介紹

定義1 劈錐曲面是曲面的一種，給定直線a，平面N內的曲線C，平面M，且a∥N，a和M相交，則滿足下述條件的動直線的軌跡稱為劈錐曲面(如圖1)：

圖1 劈錐曲面

1.動直線平行於平面M；

2.動直線與直線a，曲線C均相交。

其中，定直線a、定曲線C、定平面M分別稱為劈錐曲面的導向直線、導向曲線、導向平面。動直線稱為劈錐曲面的母線，劈錐曲面被導向直線分成的兩部分，稱為劈錐曲面的兩葉(圖1中只畫出劈錐曲面的一葉)；劈錐曲面的每一葉，稱為半劈錐曲面。

定義2劈錐曲面是一種曲面，它是由一條平行於已知平面(方向平面)且和已知直線(方向直線)以及已知曲線(方向曲線)相交的直線運動而生成的；當方向曲線為平面曲線時，該方向曲線不得在方向平面上，劈錐曲面是直紋曲面。例如，正螺旋面就是一種劈錐曲面，其方向平面垂直於其軸線，方向曲線——螺旋線，而方向直線——旋轉軸。

兩種劈錐曲面

拋物劈錐曲面

移動直線形成劈錐曲面。是將保持同參考平面平行，把母線的一端沿著平面曲線移動，另一端沿著直線移動，如圖3所示。平面曲線ABC和直線DOE不但垂直於參考平面 AFGD，而且以DE的中點O為坐標軸原點，則平面曲線的方程必定只是的函式。那么，對任一常數值的母線的方程，可用一常數去乘得到。

因此，可把整個曲面定義為

如果平面曲線是拋物線，即

那么這種曲面被定義為拋物劈錐曲面，可表示為

式中，，是拋物線的弦高，如圖3所示。

圖3 典型的拋物劈錐曲面

圓劈錐曲面

圓劈錐曲面(circular conoid)一種特殊的劈錐曲面，指導向曲線是一個圓的劈錐曲面，圓劈錐曲面的導向曲線稱為導向圓。