剩餘設計

剩餘設計(residual design)是一種由對稱設計導出的平衡不完全區組設計，具體的構作方法如下：設(X，B)是一個(v，k，λ)-SBIBD，取定一個區組B₀，對其餘的區組B，記B′=B\B₀，且B′={B′|B∈B\{B₀}}，這樣得到的一個區組設計(X\B₀，B′)是一個(v-k，v-1，k，k-λ，λ)-BIBD，稱為(X，B)的剩餘設計。當一個BIBD設計的參數為(v-k，v-1，k，k-λ，λ)時，稱為擬剩餘設計。若一個擬剩餘設計是某個對稱設計的剩餘設計，則稱該擬剩餘設計是可嵌入的。利用康納-霍爾定理可以證明某些BIBD設計不存在。

基本介紹

• 中文名：剩餘設計
• 外文名：residual design
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：組合學（組合設計理論）
• 簡介：由對稱設計導出的BIBD

基本介紹

引理1(Ryser)設A是某個的關聯矩陣且k<v。則

定理2 設D=(V B)為一個。A為其關聯矩陣。則

由定理2可得到一系列重要結論，特別由式(1)可知。在一個中。任意兩個不同區組都恰好包含λ個公共元。再結合等式可知的對偶結構也是一個。

定理3 設k<v，若存在，則-與也都存在。此處。

證設D=(V,B)P為，A為其關聯矩陣，不妨設A的第一列中前k個元素為1，於是可將A作如下分塊：

其中A₁為矩陣。A*為矩陣,由式(1)知。A的第一列與其餘各列的內積均為λ，從而A₁中各列的列和均為λ，A*中各列的列和均為k-λ，由式(2)，A中任意兩個不同的行的內積都是λ。因此A₁中任意不同兩行的內積為λ-1，而A*中任意不同兩行的內積仍為λ，從而

即A₁為某個的關聯矩陣。而A*則為某個的關聯矩陣,這個叫做D的導出設計(derived design)。而這個叫做D的剩餘設計(residual design)。

上面給出的構作法。其實就是取定B₀∈B。令

則(V',B')便是D的導出設計，(V*,B*)便是D的剩餘設計。

若v,k與λ滿足條件，設D*為一個B(k-λ，λ；v-k)，則稱D*為一個擬剩餘設計(quasi residual design)。

相關定理

定理1 λ=1的任一擬剩餘設計都可以作為某個對稱設計的剩餘設計。

為證明上述定理。需要下面引理。

引理1 每一個λ=1的擬剩餘設計都是可分解的。

定理2 設λ=2，則每一個擬剩餘設計都是某個對稱設計的剩餘設計。

然而當λ≥3時，類似的結論未必成立。