基本介紹
- 中文名：分歧群
- 外文名：ramification group
- 領域：代數
- 定義：慣性群的一個正規子群
- 特徵：商群同構與相關的特徵標群
- 重要組成：慣性群、正規子群
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概念介紹
分歧群(ramification group)是慣性群的一個正規子群。它所決定的商群同構於某個有關的特徵標群。設N是域F的一個正規擴張，C與π，N-分別是N的一個賦值環與對應的位、剩餘域，Δ，Γ分別是賦值環C，C∩F的(加法)值群.若φ是與C對應的賦值，則φ誘導一個從N·到Δ/Γ的群同態映射w，使得：
若且唯若
。同態映射ψ的核稱為C關於F的分歧群，記為
。分歧群的構造可按如下方式給出：
其中MC為C的賦值理想。分歧群在N中的固定子域稱為C關於F的分歧域。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
慣性群
慣性群是群表示論中一類重要的群。可由正規子群特徵標的穩定子群決定的群。設N是一個有限群G的正規子群，θ是N的一個特徵標，G的元g如下地作用在θ上：對每a∈N使θ(a)=θ(gag)，這時θ仍是N的特徵標，將θ的穩定子群IG(θ)={g∈G|θ=θ}稱為θ的慣性群。
設R是一個交換環，W是一個右RN模。對任意g∈G，做一個右RN模記為gW如下：它作為R模與Wg同構。對w∈W，記它在Wg中的對應元為wg。於是Wg={wg|w∈W}。任意a∈N，若a對Wg中元wg的作用為wga=(w(gag^-1))g，則IG(W)={g∈G|WW}稱為RN模W的慣性群。當R是域時，若W提供的特徵標為θ，則W提供的特徵標正是θg。這時IG(θ)=IG(W)。
正規子群
正規子群亦稱不變子群。一類重要的子群。在共軛作用下不變的子群。設H是群G的一個子群，若對任意的x∈G有Hx=xH，則稱H是G的一個正規子群，記為HG。子群H是G的正規子群的充分必要條件是對於任意的h∈H，x∈G，有xhx∈H.{e}和G是G的兩個正規子群，稱為G的平凡正規子群。
同構
兩個數學系統(例如兩個代數系統)，當它們的元素及各自所定義的運算一一對應，並且運算結果也保持一一對應，則稱這兩個系統同構，記為≌。它們對於所定義的運算，具有相同的結構。例如，十進制數與二進制數是同構的。
建立同構關係的映射，稱為同構映射。例如，當映射為一一映射，並且對應元素關於運算保持對應時，就是同構映射。
同構是數學中最重要的概念之一。在很多情況，一個難題往往可以化成另一個同構的、似乎與它不相關的、已經解決的問題，從而使原問題方便地得到解決。雖然數學發展得越來越複雜，但利用同構概念，不僅使數學得到簡化，而且使數學變得越來越統一。表面上似乎不同，但本質上等價的結果，可以用統一的形式表達出來。例如，如果四色定理得到了證明，其他數學分支中與它同構的幾十個假設，也同時得到了證明。
