《分數階拉普拉斯方程及分類猜想的研究》是依託湖南大學，由房艷芹擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：分數階拉普拉斯方程及分類猜想的研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：房艷芹
- 依託單位：湖南大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
我們計畫研究的問題是來自於數學、物理或生物中的偏微分方程，包括解決著名數學家Daomin Cao 和 Yanyan Li在2008年提出的猜想。特別是關於分數階Laplacian的問題是當今研究的熱點之一。我們將解決以下幾個重要問題：一：帶有梯度擾動項的分數階Laplacian方程解的對稱性，二：全空間上分數階Laplacian方程在臨界和超臨界下解的存在性,三: 解決Cao 和 Li 提出的關於Hardy-Sobolev 運算元解的分類的猜想。針對第一和第三個問題，我們解決問題的大體思路是：首先研究偏微分方程和積分方程的等價性，其次為了得到偏微分方程的性質我們轉化為研究與之等價的積分方程。所利用的方法是積分形式的移動平面法，針對第二個問題我們利用著名的Rabinowitz 分歧理論。如果以上問題都能解決了，在第二個問題的基礎上我們將研究熱方程.
結題摘要
分數階拉普拉斯運算元因其在很多領域有極強的套用背景成為近期的研究熱點之一，例如在金融、機率中都有廣泛的套用價值. 我們從數學角度入手，對該運算元做了詳細的研究. 為其廣泛的套用奠定了良好的理論基礎. 主要的研究內容以及重要結果包含以下幾個方面: 1.我們(W. Chen & Y. Fang)研究了高階或分數階Hardy-Sobolev型方程. 通過建立積分方程與偏微分方程的等價性, 利用積分形式的移動平面法，我們證明了積分方程在臨界情形解的對稱性以及次臨界情形下正解的不存在性. 通過等價性結果，從而得到了偏微分方程的相應結論. 2.我們(W. Chen, Y. Fang & R. Yang)研究了上半空間具有Dirichlet邊界條件的非局部的分數階拉普拉斯方程的劉維爾型定理. 我們通過柯西主值的形式定義了非局部分數階拉普拉斯運算元. 為了利用積分形式的移動平面法，需要證明積分方程與偏微分方程的等價性. 為此，我們首先證明了唯一性結果. 藉助於唯一性結果，我們證明了等價性. 通過藉助於Kelvin變換，進一步減弱了全局可積的條件，從而利用積分形式的移動平面法得到了正解的不存在性. 3.我們(T. De&Y. Fang)考慮了上半空間的分數階拉普拉斯系統. 我們利用唯一性以及極大值原理證明了積分系統和分數階拉普拉斯方程系統的等價性. 通過壓縮映射原理得到了正則性. 利用積分形式的移動平面法得到了積分系統正解的不存在性. 此類結果將關於拉普拉斯方程的一些結果推廣到分數階拉普拉斯方程或高階方程. 關於正解的不存在性在研究先驗估計中起到非常重要的作用.
