分圓數

分圓數(cyclotomic number)是構造差集的工具之一。分圓數(i，j)_e也就是方程w^es+i+1=w^et+j的解(s，t)的個數，這裡0≤s，t≤f-1。通過對分圓數的計算可以構造一些差集。

基本介紹

• 中文名：分圓數
• 外文名：cyclotomic number
• 套用：構造差集的工具之一
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：組合學(組合設計)
• 符號表示：(i，j)e

基本介紹

分圓數是構造差集的工具之一。設為奇質數冪，取定原根ω後可得分圓類(參見下文“分圓類”)。對取定的，方程的使的解的個數，稱為e階分圓數，記為。.事實上，分圓數也就是方程的解的個數，這裡通過對分圓數的計算可以構造一些差集，例如，構成加法群中差集的充分必要條件為

且，而構成差集的充分必要條件為

且，因此，當素數冪時，是

差集，稱為二次剩餘差集；當時，是差集。

分圓類

設為奇素數冪，為q階有限域。設為的本原元，，令

則稱為e次分圓類(cyclotomic classes)。

由定義可知，是的階乘法子群。而各e次分圓類則是的陪集，以下簡記。

設為奇素數冪，對令

稱為e階分圓數(cyclotomic number)。當無需指明e時。也常將簡記為。

相關性質定理

引理1(i)

(ii)

(iii)

(iv)

引理2 若且唯若時為奇數。

引理3 設則方程

的解的個數恰為。

定理4設為奇素數冪，則分圓類為的加法群中差集的充分必要條件是為奇數且

當上述條件滿足時，是一個-差集。

定理5設為奇素數冪，則為的加法群中差集的充分必要條件是為奇數且

當上述條件滿足時，是一個-差集。