基本介紹
- 中文名：凹多面角
- 外文名：concave polyhedral angle
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：立體幾何
- 簡介：一種特殊的多面角
基本介紹,相關結論及證明,
基本介紹
把多面角的任何一個面伸展成平面，如果其他各個面都在這個平面的同旁，這樣的多面角叫做凸多面角，否則叫做凹多面角，如圖1中，多面角V-ABCDE是凸多面角，而圖2中多面角P-ABCDE是凹多面角。
任何凹多面角，只要適當地分別選擇一些棱作對角面，總可以將它分成兩個或兩個以上的凸多面角。如圖2中，過棱PB及PE作對角面PBE，可將凹多面角P-ABCDE分成兩個凸多面角P-ABE及P-BCDE。
多面角又稱“立體角”。過平面外一點O向平面內的簡單多邊形的頂點引射線，所有相鄰射線所夾的平面部分圍成的立體圖形,稱為多面角。點O稱為多面角的“頂點”，射線稱為“棱”，相鄰兩棱所夾的角稱為“面角”，相鄰兩棱所夾的平面部分稱為“側面”。多面角按照它的側面數目分別稱為三面角、四面角等等、如果所給的多邊形是凸的，則相應多面角稱為凸多面角，否則稱為凹多面角。凸多面角的面角和小於四個直角，多面角每相鄰兩個面間的二面角稱為多面角的二面角，凸多面角各二面角之和大於(2n-4)直角，而小於2n直角(n表示棱數)。
如圖3中的多面角是一個凹五面角。
圖3相關結論及證明
引理 多面角的任意一個面角小於其餘面角的和。
圖4證明 ①當多面角V-A1A2...An為凸多面角時，如圖4，不妨過VA1及不相鄰的側棱作平面
。
由定理“三面角的任意兩個面角的和大於第三面角”可知
∠A1VA2<∠A2VA3+∠A1VA3，
∠A1VA3<∠A3VA4→∠A1VA4，
…………
∠A1VAn-1<∠An-1VAn+∠AnVA1。
以上各式相加，並化簡得∠A1VA2<∠A2VA3+∠A3VA4+ .... +∠AnVA1。
②當多面角V-A1A2...An為凹多面角時。
圖5如圖5，不妨設凹多面角V-A1A2...An有一個凹二面角A1-VA2-A3(註：延展二面角的:一個面，若多面角的其他面位於此面的兩側，稱此二面角為該凹多面角的一個凹二面角)。連線A1A3得凸多面角V-A1A2...An及三面角V-A1A2A3(如圖6)那么∠A1VA2<∠A1VA3+∠A2VA3，由①知∠A1VA3<∠A3VA4+∠A4VA5+ .... +∠AnVA1。故∠A1VA2<∠A2VA3+∠A3VA4+...+∠AnVA1。
由①、②可知定理成立。
圖6