《共形幾何與液晶問題中的偏微分方程》是依託南京大學，由陳學長擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：共形幾何與液晶問題中的偏微分方程
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：陳學長
- 依託單位：南京大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目包含兩個子課題:一個課題是致力於幾何分析中的一些共形幾何流的研究。基於我們已有的工作（Invent. Math., 187 (2012), no.2, 395-506； J. Func. Anal. 261 (2011), 934-980）和其他人的工作,我們集中於低維標準球面情形的純量曲率流的研究以及所有偶數維標準球面上的Q-curvature流的研究。此外,我們期待能夠在著名的四階Yamabe問題上做出一些有益的嘗試。另外一個課題是致力於向列液晶問題中所誘導的非線性波方程(組)的研究。對於此方程(組)的Cauchy問題,數學上最令人感興趣的問題是證明一維空間變數情形下的全局弱解的存在性以及高維(二維、三維)空間變數情形下的短時間解的存在性和正則性。
結題摘要
在本項目中，我們主要致力於研究共形幾何中的問題。我們採用幾何流的方法來研究共形幾何中的預定曲率問題。首先我們利用Q-曲率流的方法來研究單位球面上具有變號預定曲率函式的Q-曲率問題。接著我們利用純量曲率流／共形平均曲率流來研究具有負共形不變數的緊流形上的相應的預定曲率問題。第三項工作是我們首次來研究GJMS運算元的一些分析性質，得到了Einstein流形上預定Q-曲率問題的一些結果。第四項工作是我們首次引入並研究Q-曲率孤立子，同時得到了一些平行於Ricci及Yamabe孤立子的結果。第五項工作是我們使用純量曲率與平均曲率混合流來研究具有負的共形不變數的帶邊緊流形上的對應預定曲率問題。基於上述工作，我們在未來會更加深入研究這些問題，例如研究具正的共形不變數的帶邊緊流形上的純量曲率與平均曲率混合流等。
