全分歧擴張

全分歧擴張(totally ramified extension)是一類有限賦值域擴張，它是與非分歧擴張相反的概念。賦值域(F，B)的一個有限擴張(K，C)，若分歧指數e(C|F)=[K∶F]，則稱此擴張為全分歧擴張。此時，B對於K是無虧損的，且C是B在K上的惟一拓展。

基本介紹

• 中文名：全分歧擴張
• 外文名：totally ramified extension
• 屬性：一類有限賦值域擴張
• 別名：純分歧擴張、完全分歧擴張
• 相關概念：Eisenstein多項式，域擴張等

定義

設 是完備離散賦值域的有限擴張，以 表示E的賦值環和素理想， 表示F的賦值環和素理想，而 和 分別表示E和F的剩餘類域。令 ，則 。如果(從而 )，稱 為不分歧擴張。如果 (從而 )，稱為完全分歧擴張(或純分歧擴張)。

完全分歧擴張的刻畫

首先回憶

稱為Eisenstein多項式是指.

定理1

設是完備離散賦值域的有限擴張，是E的一個素元。

(1)若是完全分歧的，則，並且在F上的最小多項式為Eisenstein多項式。

(2)反之，若，並且在F上的最小多項式是Eisenstein多項式，則是完全分歧擴張，並且是E的一個素元。

定理2

設為n次擴張且可分，則存在中間域使為非分歧擴張，為完全分歧擴張；且有單位使為的整基。

例1當p為奇素數時，和均是Eisenstein多項式，所以和都是的完全分歧擴張。對於p=2，同樣可知是的完全分歧擴張，進而對和，我們有，而和在上的極小多項式和都是對的Eisenstein多項式，所以和也是的完全分歧擴張。

不分歧擴張的刻畫

定理3

(1)設是不分歧擴張，如果，取元素，使得，則，並且若是在F上的極小多項式，則是在F上的極小多項式。

(2)若是中首1多項式，。如果(在的代數閉包中)沒有重根，則是不分歧擴張。

引理

設是完備離散賦值域的有限擴張，並且是有限域。

(1)對於，則不分歧若且唯若和均不分歧。

(2)若是有限擴張，不分歧，則不分歧。

(3)若均不分歧，則不分歧。

定理4

(1)設是中的次本原單位根，並且與p互素，以n表示滿足的最小正整數，則是的n次不分歧擴張，並且這是伽羅瓦擴張，其伽羅瓦群是由自同構生成的n次循環群，其中。

(2)對每個，都存在惟一的n次不分歧擴張。

(3)設是有限擴張，則存在中間域F，使得為不分歧，而是完全分歧。