克里佛德代數結構框架下高維空間中若干問題的研究

《克里佛德代數結構框架下高維空間中若干問題的研究》是依託中山大學，由楊燕擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：克里佛德代數結構框架下高維空間中若干問題的研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：楊燕
• 依託單位：中山大學

中文摘要

Clifford 分析是最近30多年才興起的數學分支，是建立在Clifford代數結構下複分析向高維空間中的一種推廣，有著類似於複分析的一種函式理論。藉助此結構，許多高維空間中函式理論可以類似於複分析中的函式理論來研究，因此Clifford 分析是解決高維空間中函式理論的一種有效的方法。本項目研究在Clifford代數結構框架下高維空間中函式的值分布情況以及奇異積分運算元理論與邊值問題。

結題摘要

克里佛德代數是複數域向高維空間中的推廣，早在100多年前就已經被建立起來了。而克里佛德分析是最近30幾年才興起的數學分支，是建立在克里佛德代數結構下複分析向高維空間中的一種推廣，有著類似於複分析的一種函式理論。藉助此代數結構，許多高維空間中函式理論可以類似於複分析中的函式理論來研究，因此克里佛德分析被認為是解決高維空間中函式理論的一種有效的方法。本項目在克里佛德代數結構框架下，利用克里佛德分析研究了高維空間中函式的零點情況以及高維空間中的解析信號。我們主要得到如下結果： 對於高維空間中函式的零點，我們分別討論了多項式函式以及解析函式的零點情況。我們得到：高維空間中實係數多項式函式和實係數解析函式一定有零點，它們或者是實值的孤立零點或者是球形共軛零點, 並且給出了具體求零點的方法。高維空間中克里佛德值係數的解析函式，我們研究了它們零點的結構。指出它們不一定有零點，為此我們舉出了例子。特別地，對於具有向量值係數的多項式函式，我們得到了此類函式有零點的一個充分必要條件。利用此結果，可以推出四元素中的代數學基本定理。 對於高維空間中的解析信號，我們給出了信號的相位以及實值相位導數的定義。作為相位導數的套用，我們得到了聯繫相位導數與傅立葉頻率關係的許多基本的結果。這些是一維空間中有關相位導數的最新結果向高維空間中的推廣。我們還得到了高維空間中兩類信號的測不準原理，一類是實值的信號，另一類是具有軸形式的克里佛德值的信號。另外，我們還研究了高維空間中能量有限的解析信號在加權柯西核的集合中的自適應分解與有理函式的快速逼近等問題。這些結果對於彩色圖片的處理、邊緣探測等等在理論和套用上都將有著很重要的意義。