克萊羅方程（Clairaut equation）是一類通解有包絡結構的特殊的一階微分方程，它的一般形式為：y=xp+f(p)，其中p=dy/dx。克萊羅方程的通解具有形式：y=Cx+φ(C)（直線族），此外存在奇解（包絡），其中奇解可以通過方程組：x=-φ'(p)，y=px+φ(p) 消去參數 p 而得到；克萊羅方程的通解可以通過令 p=c （任意常數），代入原方程中而求得。此外，拉格朗日方程是克萊羅方程的特殊情形。
基本介紹
- 中文名：克萊羅方程
- 外文名：Clairaut equation
- 克萊羅：法國數學家、天文學家
- 一般形式：y=xp+f(p)，其中p=dy/dx
- 特殊情形：拉格朗日方程
- 套用學科：微分方程
定義,方程求解,方程的通解,具體求解步驟,典例,例1,例2,
定義
形如
的方程，稱為克萊羅微分方程，這裡 f 是連續可微函式。
方程求解
方程的通解
克萊羅方程的通解可以通過令
（任意常數），代入原方程中求得。
具體求解步驟
已知方程：，
對上式左右兩端同時對 x 求導，並令
，可得：
；
即有：
。
（1）如果
，則得到
，將其代入到式子中可得：
，其中 c 為任意常數，這就是原方程的解。
（2）如果
，則將該式與原方程聯立，得到方程組：
，消去 p 則得到方程的一個解。求此解的過程與求包絡的過程是一致的。不難驗證，此解正是通解的包絡。由此，克萊羅微分方程的通解為一直線族，即在原方程中以 c 代 p，且此直線族的包絡是方程的奇解。
典例
例1
求解方程
，其中
。
解：這是克萊羅方程，因而易得其通解為
，
從方程組
中消去 c，得到奇解：
。
方程的通解是直線族，而奇解是通解的包絡。
例2
解方程
。
解：令
，則有
。
微分後，以
代替
，我們得到：
或者
。
求解這個線性方程後，我們有：
。
因此，得到：
，
為了求出奇積分，按照一般規則做出方程組：
，
，
由此得到：
，
。
所以有：
。
把 y 代入原方程，可知得到的函式並不是解，因此原方程沒有奇積分。
