克拉莫-克若尼關係式

克喇末-克勒尼希關係式（英語：Kramers–Kronig relations）是數學上連繫復面上半可析函式實數部和虛數部的公式。此關係式常用於物理系統的線性反應函式。物理上因果關係（系統反應必須在施力之後）意味著反應函式必須符合復面上半的可析性。反之，反應函式的可析性意味著相應物理系統的因果性。此關係式以拉爾夫·克勒尼希和漢斯·克喇末為名。

基本介紹

• 中文名：克拉莫-克若尼關係式
• 外文名：Kramers–Kronig relations
• 分類：shulikex

公式定義

給定一複數變數 的復值函式 ，其中 和 是實值函式。假設此函式 在複數平面上半部可析，且當 趨向無限大時，它在上半平面趨於零的速度比 快或與之相等，那么 滿足以下關係：

和

其中 表示柯西主值。因此可析函式的實部和虛部並不獨立：函式的一部分可以重建整個函式。

推導

推導克喇末-克勒尼希關係式是留數定理的基本套用。對任何復面上半可析函式和實數函式在復面上半可析。

選用實軸上的路徑、跳過任何實軸上極點、再以復面上半圓完成。把積分分解成三部分。其中半圓部分長度和成正比，因此只要消失比快，對半圓部分積分趨向零。因此積分只剩實軸上直線部和跳過極點的小半圓：

以上第二項留數定理的結果。重組後得到克喇末-克勒尼希關係式：

分母里的虛數意味者這是連繫實部和虛部的公式。把分解成實部和虛部可輕易得到更早的公式。

物理理解

可以將Kramers-Kronig關係套用於回響函式理論。物理上，回響函式概括系統對在時間的作用力在另一時間的反應：

因為系統不能在施力前有任何反應因此當，。 可以證明這因果關係意味著的傅立葉變換在復面上半可析。另外如果我們施加系統一個遠高於它最高共振頻率的高頻作用力，此時作用力轉換太快而系統不能即時做出反應，因此很大時，會趨近於0。從這些物理考量，可知物理反應函式通常符合克喇末-克勒尼希關係式的前提條件。

反應函式的虛部和作用力異相。它概括系統如何消散能量。因此利用克喇末-克勒尼希關係，我們可以透過觀察系統能量消耗而得到它對作用力的同相（不做功）反應，反之亦然。

上述函式的積分路徑是從到，其中出現了負頻率。幸運的是，多數系統中，正頻回響決定了負頻回響，這是因為是實數變數的傅立葉變換，根據對實數進行傅立葉變換的性質，，是頻率的偶函式，而是的奇函式。

根據該性質，積分可以從正負無窮區間約化為的區間上。考慮實部的第一個關係，積分函式上下同乘可得：

由於為奇函式，第二項為零，剩下的部分為

類似的推導亦可用於虛部：

該 Kramers-Kronig 關係在物理回響函式上的很有用處。