偽拋物型方程的若干定性問題

《偽拋物型方程的若干定性問題》是依託大連理工大學,由曹楊擔任醒目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：偽拋物型方程的若干定性問題
• 依託單位：大連理工大學
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：曹楊

項目摘要

本項目擬研究偽拋物型方程,其特點是具有關於時-空混合導的高階項.這類方程來源於裂隙多孔介質的滲流、非線性色散長波、粘彈性不可壓縮流體等問題中廣泛存在的阻性擴散過程,同時也可作為研究圖像處理等問題中的非適定模型的有效的正則化逼近..本項目旨在通過研究這類方程的若干定性問題,考察偽拋物粘性對解的性態的影響,從而揭示其與對應拋物及雙曲模型解的性態的區別與聯繫,為真實模型的理論分析和數值計算提供一種更合理的逼近過程.擬研究死核、行波解、傳播的Pinning/Depinning以及解的漸近行為等偽拋物型方程領域尚無完整結果的問題.偽拋物型方程本身的特有結構，尤其是當退化性、奇異性出現在高階混合導項時,會為研究帶來本質性困難,需要尋找新的研究思路.本項目的研究結果和方法將對解釋有關物理現象提供重要參考，並在一定程度上豐富和完善偏微分方程的理論.

結題摘要

本項目研究與物理學、生物學以及圖像處理等領域問題有著密切關係的偽拋物型方程。這類方程不但具有鮮明的實際背景，並且由於其特殊的高階項形式，使得其研究結果也頗具理論價值。本項目以大連理工大學為依託單位，在項目執行期間，項目組按照研究計畫開展了研究工作，取得了一系列研究成果。在Journal of Differential Equations，Discrete and Continuous Dynamical Systems Series A等學術期刊上發表論文8篇，基本實現了預期目標。主要成果包括：小攝動、內部源及偽拋物型擴散機制對方程及方程組解的漸近行為的影響，退化偽拋物型方程解的長時間行為，偽拋物型Fisher-KPP方程的行波解，具弱周期源的偽拋物型方程的時間周期解問題。這些研究工作將在一定程度上豐富偏微分方程的理論並對解決實際問題提供重要參考。