偏微分運算元的特徵值與特徵函式，由邊界固定的膜振動引出的拉普拉斯運算元的特徵值問題： 是一個典型 的 偏微分 運算元 的 特徵值問題，這裡 x=( x 1， x 2)； Ω是膜所占據 的平面區域。使得問題有非平凡解（非零解） 的參數 λ 的 值，稱為 特徵值；相應 的解稱為 特徵 函式。當 Ω有界且邊界∂ Ω滿足一定 的正則條件時，存在可數無窮個 特徵值 ，相應 的 特徵 函式ψ n( x)組成 l 2( Ω)上 的完備正交系。乘以常因子來規範ψ n( x)，使其 l 2( Ω)模為1，則 Ω上 的任意 函式 f( x) 的 特徵展式可寫為： 當 f可以“源形表達”，即 f滿足邊界條件且Δ f平方可積時，展式在 Ω一致收斂。當 f平方可積時，展式平方平均收斂，且有帕舍伐爾公式： 對膜振動問題的認識還是相當有限的。能夠精確地知道特徵值的，只限於矩形、圓盤等少數幾種非常簡單的區域。對橢圓和一般三角形的特徵值精確值，還幾乎毫無所知。其他情形就更談不上了。
基本介紹
- 中文名：偏微分運算元的特徵值與特徵函式
- 所屬學科：數學
將不超過λ的特徵值的個數記為N(λ)。特徵值的漸近分布由N(λ)對大λ的漸近式來刻畫。這方面最早的結果是（C.H.）H.外爾在1911年得到的（外爾公式）： 式中 表示 Ω 的面積。R.庫朗將餘項改進為 。對於多角形區域，又有人將餘項改進到 。各種情況下改進餘項估計 的工作至今綿延不絕。外爾猜測有一個更強 的結果： 式中｜∂ Ω｜是區域邊界之長，但尚未被證出。 與此密切相關的是下面的MP公式：(t→+0) 取一個漸近項時，用陶伯型定理可由它推出 N( λ) 的外爾公式。第二漸近項 與外爾猜想非常相象，但由此證不出外爾猜想。第三項遲至1966年才被M.卡茨導出，後來由H.P.麥基恩 與I.M.辛格嚴格證明，其中 h表示鼓膜 Ω 的洞數。 特徵值與膜振動頻率有一個直接的換算關係，M.卡茨據此給MP公式一個非常生動的解釋：可以“聽出“鼓膜的面積|Ω|、周長｜∂Ω｜和洞的個數h！由於1-h恰巧是Ω的歐拉-龐加萊示性數，是整體幾何中頗受重視的一個不變數，“聽出鼓形”或“譜的幾何”問題立即引起人們的強烈興趣，並導致一系列重要的研究。不過一般的特徵值反問題，要求從特徵值的譜完全恢復Ω，還遠遠沒有解決。 用陶伯型定理得出N(λ)漸近式的方法，由T.卡萊曼於1934年首創，他還得到譜函式的漸近式：(λ→∞) ， 式中δ xy當 x= y時為1，當 x≠ y時為0。 上述關於拉普拉斯運算元的結果，由L.戈爾丁和F.E.布勞德推廣到Rn 的有界區域 Ω上 的 m階橢圓 運算元 。儘管推算繁雜，但結果十分簡單整齊： ； ； 式中 v( x) 表示集合{ ξ｜｜ A 0( x， ξ)｜＜1} 的勒貝格測度，而 是 A 的最高階導數項相應 的 特徵形式。 特徵展開定理亦由L.戈爾丁得出。 對於奇異情形，例如薛丁格方程 的譜問題，可以證明存在譜 函式 S( x， y， λ)， 特徵展式為 。 由於可能出現連續譜， S( x， y， λ)一般不一定能寫成前述 特徵 函式雙線和 的形式。判定奇（異） 微分 運算元譜 的離散性是很有意義 的工作。已經出現各種充分條件。不過關於 特徵值 與 特徵 函式漸近性質 的研究，還只是限於少數特例。 在處理‖x‖→∞ 時V(x)→∞的情形，M.卡茨與D.雷等人曾創造了一種系統的機率方法，其中藉助數學期望表出格林函式，有效地求出譜函式與特徵值的漸近式： 。 當運算元A的係數不光滑，或非一致橢圓，或非自共軛，以及邊條件帶特徵參數或帶非定域項等等情形，都出現不少研究結果。還有人考察Au=λBu型的特徵值問題， 這裡 A、 B都是橢圓 運算元。 除上述問題外，特徵展式的收斂性與求和法也一直受到人們的關注。
