倍周期分叉(period doubling bifurcation)，又稱倍周期分岔、周期倍化分叉、叉形分岔，是混沌理論中一個非常重要的概念，是研究混沌理論必須理解的概念。
基本介紹
- 中文名：倍周期分岔
- 外文名：period doubling bifurcation
- 又稱：倍周期分岔、周期倍化分叉
- 所屬理論：混沌理論
- 所分學科：物理
- 代表現象：logistic映射
物理定義,自然定義,
物理定義
倍周期分叉過程是一條通向混沌的典型道路，即可以認為是從周期視窗中進入混沌的一種方式。通過倍周期分叉到達混沌現象的過程中，會依次經過周期1，周期2，……周期4，混沌單吸引子和混沌雙吸引子。
從任何初始值出發疊代時, 一般有個暫態過程, 但當疊代次數很大, 即當n→∞時, 演化會導致一個確定的終態. 終態可取無窮多種值, 對初值極為敏感, 成為不可預測, 開始出現混沌現象。在此前終態都是周期的、可預測的, 並與初值無關。
混沌現象產生於不可積系統, 由於方程解的長期行為對初值十分敏感, 出現了貌似隨機的行為。在同一時期, 非線性研究中也揭示了與之相反的另一極端現象, 發現了孤立波 (或孤立子) 的存在. 它產生於一批非線性完全可積系統, 它們的解具有規則性和出奇的穩定性, 說明非線性還在產生有序性方面有重要作用。
自然定義
在大自然中，在現實生活中，事物在經歷了一定的階段之後，就必然會迎來一個嶄新的階段。在新舊階段交替的時點上，人們將面臨選擇的兩難困境，同時，人們也只能在各種兩難選擇方案中確定其中之一種，作為其發展的道路。這種選擇的過程，就稱為倍周期分叉現象。它在現實世界的政治、經濟、生活中具有普遍性。
倍周期分叉現象舉例--logistic映射
生態學中的蟲口模型(亦即Logistic映射)可用來描述倍周期分岔。
x(n+1)=u*x(n)*(1-x(n)),u屬於[0,4],x屬於(0,1)這是1976年數學生態學家R. May在英國的《自然》雜誌上發表的一篇後來影響甚廣的綜述中所提出的，最早的一個由倍周期分岔通向混沌的一個例子。後來經過Feigenbaum研究得出:一個系統一旦發生倍周期分岔，必然導致混沌。他還發現並確定了該系統由倍周期分岔通向混沌的兩個普適常數(也稱為Feigenbaum常數)。 對於一維 Logistic映射，研究的比較早也比較詳細，比如該映射之所以產生混沌，有人歸納出它具有兩個基本性質、逆瀑布、周期3視窗、U序列等等。但是一維Logistic映射僅有一個自由度，利用它只能產生一條線或一條曲線，而做圖像，至少需要兩個或以上個自由度，為此，孫海堅等人給出了LMGS定義。王興元還擴展了LMGS定義，在此基礎上，就可以分析2維及其以上的系統，分析圖形與吸引子的結構特徵，探討了圖形與吸引子之間的聯繫;並由一維可觀察計算系統混沌定量判據的方法，計算了吸引子的 Lyapunov指數和Lyapunov維數。
