低階無窮小

低階無窮小（Low order infinitesimal）是以數零為極限的變數，屬於高等數學學科。無窮小就是以數零為極限的變數。確切地說，當自變數x無限接近x₀(或x的絕對值無限增大)時，函式值f(x)與零無限接近，即f(x)=0(或f(x)=0)，則稱f(x)為當x→x₀(或x→∞)時的無窮小量。例如，f(x)=(x-1)是當x→1時的無窮小量，f(n)=1/n 是當n→∞時的無窮小量，f(x)=sinx是當x→0時的無窮小量。特別要指出的是，切不可把很小的數與無窮小量混為一談。

基本介紹

• 中文名：低階無窮小
• 外文名：Low order infinitesimal
• 定義：以數零為極限的變數
• 區分：無窮小量
• 一級學科：數學
• 二級學科：高等數學

定義

首先介紹無窮小量的概念。

初學者應當注意的是，無窮小量是極限為0的變數而不是數量0，是指自變數在一定變動方式下其極限為數量0，稱一個函式是無窮小量，一定要說明自變數的變化趨勢。例如在時是無窮小量，而不能籠統說是無窮小量。也不能說無窮小是，是指負無窮大。

設f在某x₀的空心鄰域有定義。

對於任給的正數 ε（無論它多么小），總存在正數（或正數）使得不等式（或）的一切對應的函式值都滿足不等式，則稱函式為當（或）時的無窮小量。記做：（或）。

若，則稱“β 是比 α 較低階的無窮小”。意思是在某一過程中，β→0 比 α→0 慢一些。

例如，因為

所以 x→∞ 時，1/2x 是比 1/3x 較低階的無窮小。意思是在x→∞ 的過程中，1/2x→0 比1/3x→0 的速度慢。

無窮小的比較

觀察無窮小比值的極限：

兩個無窮小比值極限的各種不同情況，反映了不同的無窮小趨於零的“快慢”程度。在x→0 的過程中，x→0 比 3x→0 “快些”，反過來 3x→0 比 x→0 “慢些”，而 sin x→0 與 x→0 “快慢相仿”。

為了套用上的需要，我們就無窮小之比的極限存在或為無窮大時，給出下面的比較定義。

定義，設 α 及 β 都是同一個自變數的變化過程中的無窮小。

如果，就說β是比α高階的無窮小，記為；

如果，就說β是比α 低階的無窮小；

如果，就說β與α 是同階無窮小；

如果，就說β是關於 α 的k階無窮小；

如果，就說β與α 是等價無窮小，記為 β~α。