伸縮進退法作圖

在某些要求圓和圓、圓和直線相切的幾何作圖題中，將圖形的相關位置同時放大或同時縮小，使解題得到化簡的方法，稱為伸縮進退法。伸縮進退法作圖（construction by elasticity）就是套用伸縮變換解作圖題的一種方法，伸縮變換就是位似變換，它將一個已知圓⊙O(r₁)變為一個確定的同心圓⊙O(r₂)，它的變態是將一圓收縮到圓心，套用收縮變換解作圖題稱為伸縮進退法作圖。例如，求作兩個定圓的外公切線，其思路要點是：設⊙O與⊙O′的半徑分別為r，r′，且r>r′，假設外公切線AB已作出，對⊙O(r)，⊙O′(r′)實施收縮變換：將⊙O(r)收縮為⊙O(r-r′)，⊙O′(r′)收縮為點圓O′，於是外公切線AB隨之退到CO′的位置，離開原位置的距離為r′，這樣⊙O(r-r′)是與CO′相切的圓，由於⊙O(r-r′)的確定，AB也就可以確定，因為從O′向⊙O(r-r′)引切線時一般有兩解，所以通常本題有兩解；當OO′=r-r′時，有一解。當OO′<r-r′時，無解。

基本介紹

• 中文名：伸縮進退法作圖
• 外文名：construction by elasticity
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：平面幾何(尺規作圖)
• 相關概念：位似變換，膨脹變換

基本介紹

為更好地理解這種作圖方法，我們首先給出膨脹變換的定義。

假設OA是已知圓⊙O(r)的半徑(圖1)，今作一同心圓，使它的半徑恰好等於OA加上或減去(加與減指定其一)確定的一段AA'，則所作的圓是一個確定的圓，像這般由已知圓⊙O(OA)變為一個確定的同心圓⊙O(OA')的變換，叫做膨脹變換，其中線段AA'的長度a叫做膨脹參數，在初等幾何學裡，一般都視圓的半徑和膨脹參數是正值，這樣一來，上述的膨脹變換便受到一定的局限性，以後為使膨脹變換普遍適用，我們約定(圖2)：當a大於已知圓的半徑r時，⊙O(r)變為⊙O(|r- a|)的變換也看做是膨脹變換；特別地，當a = r即⊙O(|r-a|)成為點圓時，我們仍然一體看待。

圖1

圖2

若對相切兩圓⊙O(r)和⊙O'(r' )施行膨脹變換(圖3、4)，使⊙O(r)，⊙O'(r')分別變為⊙O(|r±a|)、⊙O'(|r'±a|)，但其中雙號當原來兩圓外切時應一取正號一取負號 ，內切時同取正號或負號，那么所得兩圓仍然保持相切的性質，這個不變性對於相切圓的研究具有莫大的價值，因為它往往可以把某些問題化得簡單一些。

圖3

圖4

除上述特性外，隨同膨脹變換的還有圓的切線隨著變換而進退，其進退的距離恰等於所選的膨脹參數，這些事理對作圖特別有用在中學課本上，關於兩圓公切線的作圖就是套用膨脹變換的原理而設計的。

套用膨脹變換的原理以解題，叫做伸縮進退法。此法一般適用於有關圓和圓以及圓和直線相切的問題。

例題解析

【例1】 求作一圓，使切於一個已知圓和兩條已知真線。

圖5

設定 ⊙P(R)和兩條直線a,b(圖5)。

求作 ⊙O，使切於⊙P和兩直線a,b。

分析 假設⊙O已作得，它的半徑為r。現在我們對⊙P(R)和⊙O(r)施行膨脹變換，使⊙P(R)變為點圓——點P，而⊙O(r)變為過P的一同心圓h，k的半徑等於R + r或|R-r|，視⊙P(R)與⊙O(r)外切或內切而定。在施行膨脹變換的同時， ⊙O(r)的切線a，b要隨著進退到離開原來位置等於R那樣遠的地方，臂如說，a進到a₁， b進到b₁。這樣一來，k實際就是通過已知點P且切於確定的兩直線a₁，b₁的圓，所以k有法求得，k既得，所求圓自然易於作出了。

作圖 作兩直線a₁，a₂同平行於a且令與a的距離都等於R；又作兩直線b₁，b₂同平行於b且令與b的距高都等於R。在所作的直線里，任選出兩條a_i，b_j(i，j = 1，2)來，然後作圓k使切於這兩條直線且通過點P。命k的圓心為O，若O與a，b有等距r，則⊙O(r)即是所求圓。

證明 據作圖，除已知⊙O(r)已和直線a，b相切外，又因k通辻點P且切於a_i,b_j兩直線，得知OP= R+r或|R-r|，可見⊙O(r)又與⊙P(R)相切，所以⊙O(r)合條件。

推究 (1)假定a與b交於點E(圖5)，那么將交成一個菱形ABCD，且直線AC，BD平分a與b的交角，因而E是該菱形的中心，由此可見，作出k後，必須圓心O落在射線EA，EB，EC，ED之一上面オ合用，從這處著眼，得知本題解數情形如下：

①當⊙P不通過直線a與b的交點吋(圖6):

圖6（a）

圖6（b）

a.如果⊙P與a，b都相交，則點P落在菱形ABCD內部，此時共得八解；

b.如果⊙P與a，b一交一切，則點P落在菱形ABCD某邊上，此時共得六解；

c.如果⊙P與a，b都相切，則點P是菱形ABCD的一個頂點，此時共得四解；

d.如果⊙P與a，b一交一離，則點P落在菱形ABCD某外角內，此時共得四解；

e.如果⊙P與a，b一切一離，則P點落在菱形ABCD某邊的延長線上，此時共得四解；

f.如果⊙P與a，b都相離，則點P落在菱形ABCD某角的對頂角內，此時共得四解。

②在⊙P通過直線a與b的交點時(圖7):

圖7

a.如果⊙P與a，b都相交，則點P落在菱形ABCD內部，但此時所作八個k中有四個合而為，並以點E為圓心，不合用，故僅得四解；

b.如果⊙P與a，b一交一切，則點P落在菱形ABCD某邊上，但此時所作六個k中有四個同上情形，不合用，故僅得兩解。

(2)假定a // b(圖8)，則本題的解數情形如下：

①在⊙P與a, b都相交時四解；

②在⊙P與a,b一交一切時三解；

③在⊙P與a,b都相切時兩解；

④在⊙P與a,b一交離時兩解；

⑤在⊙P與a,b一切一離時：

a.當點P在a與b之間，三解；

b.當點P不在a與b之間，一解；

⑥在⊙P與a,b都相離時:

a.當點P在a與b之間，四解；

b.當點P不在a與b之間，無解。

圖8（a）

圖8（b）

圖8（c）

圖8（d）