代數黎卡提方程的快速和超快速求解算法的研究

《代數黎卡提方程的快速和超快速求解算法的研究》是依託南昌大學，由汪祥擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：代數黎卡提方程的快速和超快速求解算法的研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：汪祥
• 依託單位：南昌大學

項目摘要

代數黎卡提方程的數值求解問題在二次調節器、中子轉移理論、卡曼濾波、隨機流體模型以及模型簡化等領域有著廣泛的套用，相關的數值求解算法己有很多。但是，絕大部份的算法的運算量均為O(n^3)，從而導致很多算法由於運算量過大從而減弱其實用性，甚至完全失去實用價值。然而，由於許多類型的黎卡提方程均涉及到結構矩陣的計算，因此我們這個項目的第一項研究任務是結合結構矩陣的快速算法的研究，設計和發展求解代數黎卡提方程的快速和超快速的高效率計算方法，同時對算法進行相關理論分析和研究。此外，由於各種類型的代數黎卡提方程均可以等價地轉化為二次向量方程Mx=a+b(x, x)的形式（其中b(. , .)為一非負雙線性映射），因此通過研究該二次向量方程的有效求解算法將為我們研究代數黎卡提方程的求解提供一個全新的思路。

結題摘要

在物理與工程的許多套用中，代數黎卡提方程的數值求解問題都是一個非常重要的問題，例如二次調節器問題、中子轉移模型、隨機流體模型、卡曼濾波及模型簡化問題等。因此，代數黎卡提方程的數值求解算法的研究，有著非常廣闊的套用背景和重要的理論和套用價值。國內外眾多學者在這一領域做出了許多卓有成效的工作。然而，當問題的規模非常大時，現有的許多算法由於其所需的計算複雜度過高而限制了算法的套用。 本項目主要研究一類非對稱和對稱代數黎卡提方程的數值求解問題，由於利用基於精確或不精確牛頓疊代方法求解代數黎卡提方程時，每一次牛頓疊代步都需要求解一個Sylvester矩陣方程或Lyapunov矩陣方程，因此本項目對於這兩類矩陣方程的數值求解問題也進行了大量深入的研究。 己取得的主要研究成果有：給出了一個求解一類對稱代數黎卡提方程的基於加倍疊代格式的不精確牛頓疊代方法，證明了新算法的單調收斂性；利用非對稱代數黎卡提方程與二次向量方程的等價性，給出了一個求解中子傳輸模型問題中產生的一類非對稱代數黎卡提方程的疊代算法；基於求解線性矩陣方程組的PSS分裂疊代算法，給出了一個求解Sylvester矩陣方程的求解方法；基於梯度疊代算法，給出了求解Sylvester矩陣方程的一個新方法，同時結合預條件技術，給出了一個改進型算法。