亨特-惠登定理

簡介

亨特-惠登定理是函式在某點的非切向邊界值與半細邊界值之間的關係的定理。

該定理斷言：李普希茨區域上定義的任何函式若在x₀∈∂D有非切向邊界值，則在x₀有與它相等的半細邊界值，反之不然；但若正調和函式在x₀有半細邊界值，則在x₀有相等的非切向邊界值。

細邊界值是函式在細拓撲意義下的邊界值。

一般地，若x從D趨於x₀(x₀∈∂D)時有f(x)→α，則稱α為f在x₀的邊界值；當此極限不存在時，限制x沿D的子集趨於x₀，則可能有極限。

當D∪∂D上有細拓撲時，若限制x在x₀的一個細鄰域趨於x₀時有f(x)→β，則稱f在x₀有細邊界值β。

非切向邊界值是區域上的函式當限制自變數以某種特殊方式趨近於邊界點時的極限。

設D⊂R(n≥2)是一個李普希茨區域，即D為有界域且滿足條件：對每點Q∈∂D，對應一個局部坐標系(X,y)，X∈R，y∈R，及一個鄰域N和函式b(X)，使得：

1、|b(X)-b(X')|≤k|X-X'|（k為常數）；

2、N∩D=N∩{(X,y)|y≥b(X)}；

3、N∩∂D=N∩{(X,y)|y=b(X)}。

設f是D上定義的函式，如果當x沿著任何一個以x₀∈∂D為頂點的內錐Γ（即存在一個以x₀為頂點的錐Γ'使得

）趨於x₀時，f(x)有同一個極限值，就稱f在x₀有非切向邊界值。