二項級數

二項級數是形如(1+x)^k的式子的麥克勞林展開式，也即在x=0處的泰勒展開式，它能將這個二項式展開為無窮個x冪的和的形式。特別地，在k為正整數時，二項級數就是代數學中的二項式定理。

基本介紹

• 中文名：二項級數
• 外文名：the binomial series
• 適用領域：級數
• 所屬學科：數學

定義

二項級數是形如(1+x)^k的式子的麥克勞林級數展開式，也即在x=0處的泰勒級數展開式。

二項級數

即：當k為實數且時：

其中，符號（n為自然數，k為實數）（特別地，當k為正整數，且時，即為組合數，即），稱為“二項式係數”（binomial coefficient）。

常用麥克勞林級數展開

證明

令，其中k為任意實數。

則有：

因此，在x=0處，有：

所以，的麥克勞林展開（即在x=0處的泰勒展開）為：

這個級數就稱為二項級數（binomial series）。注意到，若k為非負整數，那么該級數的項最終會為0，那么它的項數將是有限的。但對於其他的k來說，沒有任何一項會為0，所以我們可以使用比值審斂法（Ratio Test）來進行審斂。

設第n項為,那么：

所以，由比值審斂法，二項級數在上收斂，在上發散。

所以，對於任何實數k，二項級數在開區間（-1，1）內收斂。

為了避免直接研究餘項，設這個級數在開區間（-1，1）內收斂到函式F(x):

下面證明：.

對F(x)逐項求導，得：

兩邊各乘(1+x),並把含有的兩項合併起來。根據恆等式：

（註：即：，對應組合數中的吸收公式：）

可得：

現在令 於是

且,

所以（常數）。但是，從而,

即：

，

因此，在區間(-1,1) 內有展開式

而在區間的端點，展開式是否成立要看k的數值而定：

若，則級數在1處收斂；

若，則級數在兩個端點處都收斂。

另外，注意到若k為正整數且，那么二項式係數含有因子(k-k)，因此當時，二項式係數=0. 這意味著當k為正整數時，級數在此處終止了，並且弱化為了典型的二項式定理。