基本介紹
- 中文名:二項微分式
- 隸屬:微積分學
- 公式:x^p (a+b x^q)^r dx
- 確認者:牛頓
基本介紹,二項微分式的積分是初等函式的條件,二項微分式的積分方法,契貝謝夫法,舉例分析,
基本介紹
形如 的表達式稱為“二項微分式”,其中 和b是實數; 是有理數; 是自變數。
二項微分式的積分是初等函式的條件
設
為了給出F(x)為初等函式的條件,特作如下變換:令
則由(1)式得:
於是
把(2),(3)兩式代人 式,得:
(4)式右邊表示的仍是二項微分式的積分,不過此時的積分變數是t,它的積分結果是t的函式。為了討論的方便,不妨把這個函式記為 ,即
只要
這三個數中有一個是整數,則二項微分式的積分(5)的結果就一定是初等函式。
二項微分式的積分方法
契貝謝夫法
定理1 契貝謝夫(1821-1894,俄國數學家)定理 在二項微分式的積分:
中,(1)當 為整數時,可令 (其中N是有理數 的公分母);
(2)當 為整數時,可令 (其中N是有理數 的分母);
(3)當 是整數時。可令 (其中N是有理數 的分母)。
舉例分析
下面舉例,以具體地說明如何利用上述定理求二項微分式的積分。
例1 求不定積分
解:
將(6)式右邊與公式相比照,不難看出,所給積分是二項微分式的積分,在這裡(有理數),,並且
(整數).
根據定理1中所講的方法(第2種情形),需令:
由(2)式得:
(取). (8)
把(2),(3),(4)式代入(1)式,得:
(根據(2)式把還原成),即