二項微分式

二項微分式

形如xα(a+bxβ)γdx的表達式稱為“二項微分式”,其中a和b是實數;α,β,γ是有理數;x是自變數

基本介紹

  • 中文名:二項微分式
  • 隸屬:微積分學
  • 公式:x^p (a+b x^q)^r dx
  • 確認者:牛頓
基本介紹,二項微分式的積分是初等函式的條件,二項微分式的積分方法,契貝謝夫法,舉例分析,

基本介紹

形如
的表達式稱為“二項微分式”,其中
和b是實數;
是有理數;
是自變數。

二項微分式的積分是初等函式的條件

為了給出F(x)為初等函式的條件,特作如下變換:令
則由(1)式得:
於是
把(2),(3)兩式代人
式,得:
(4)式右邊表示的仍是二項微分式的積分,不過此時的積分變數是t,它的積分結果是t的函式。為了討論的方便,不妨把這個函式記為
,即
只要
這三個數中有一個是整數,則二項微分式的積分(5)的結果
就一定是初等函式。

二項微分式的積分方法

契貝謝夫法

定理1 契貝謝夫(1821-1894,俄國數學家)定理 在二項微分式的積分:
中,(1)當
為整數時,可令
(其中N是有理數
的公分母);
(2)當
為整數時,可令
(其中N是有理數
的分母);
(3)當
是整數時。可令
(其中N是有理數
的分母)。

舉例分析

下面舉例,以具體地說明如何利用上述定理求二項微分式的積分。
例1 不定積分
解:
將(6)式右邊與公式
相比照,不難看出,所給積分是二項微分式
的積分,在這裡
(有理數),
,並且
(整數).
根據定理1中所講的方法(第2種情形),需令:
由(2)式得:
(取
). (8)
把(2),(3),(4)式代入(1)式,得:
(根據(2)式把
還原成
),即

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