主不可分解模(principal indecomposable module)是一類最重要的不可分解模，即正則模的不可分解的非零直和項。若諾特環A滿足惟一分解條件，則不可分解A模V同構於主不可分解模，若且唯若V是有限生成的投射模。
基本介紹
- 中文名：主不可分解模
- 外文名：principal indecomposable module
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：群表示論
- 相關概念：不可分解摸，正則模等
基本介紹,相關概念,嘉當矩陣,整表示理論,環模,
基本介紹
主不可分解模是一類特殊的不可分解模，設A是環，
是不可分解A模，若
，則稱為主不可分解模。每個左阿廷環都可表示為這種形式，若環A是擬弗羅貝尼烏斯環，則A的極小左理想集與主不可分解A模的集合之間存在著一個雙射。
相關概念
嘉當矩陣
嘉當矩陣(Cartan matrix)是群表示論的一個特殊矩陣，即描述各主不可分解模的不可約成分重數的矩陣。設A是域F上有限維代數，
是A的一個主不可分解模，亦即是正則模A的不可分解直和項，若
是一個不可約A模，則作為A模的合成因子的重數
稱為代數A的一個嘉當不變數，由全體嘉當不變數組成的矩陣
稱為A的嘉當矩陣。嘉當矩陣是一個整數方陣，若A是一個對稱代數，F是A的分裂域，則嘉當矩陣是一個對稱矩陣。
整表示理論
如何作出群G的模表示來?通常採取這樣一個辦法：對G的一個不可約的常表示
，取一個與等價的、係數是“整”的表示，然後把這個表示的所有係數“模p”，就得到一個係數在特徵p的域上的模表示，這個表示不一定不可約。不可約模表示
、主不可分解模表示
、不可約常表示
這三者之間，有一個比較有趣的關係：(i)與是一一對應的；(ii)在中出現的重數正好等於在中出現的重數。
這種考慮係數在整域上的表示，叫做“整表示理論"。這是表示理論中一個重要方向，它涉及表示理論的許多算術性質，也可看作代數數論的推廣，它也是常表示論與模表示論之間的一個橋樑。
環模
與群一樣，環的表示理論與環模的理論是一致的，環R上的左模M是指M為加法群，R中每個元素
作為M的自同態作用在M上(以
記之，其中
)，並且滿足
，M稱為左R-模。同樣，有右模與雙邊模的定義。如果R還是域K上代數，那么R-模(左)還要求M是K上的線性空間，這就是通常的代數表示。環模的理論與環的理論是分不開的。
群的表示理論實際上是環模理論的一部分，因為對群G，可以作它的群代數KG(G的K-線性組合的全體)，而KG-模與G-模是一回事，所以，像群模一樣，環模理論最基本的是兩個定理：若當-霍爾德定理與克努爾-斯密特(Krull-Schmidt)定理，但對一般環模說，後者不一定成立，不是對任意環R每一個R-模都可以唯一地分解成有限個不可分解R-模的直和，有些情況下是可以的，那就是定理：若R是阿廷環，M為有限生成R-模（是指這個R-模是由有限個元素生成的），則M可以唯一地分解成有限個不可分解R-模的直和，這裡唯一當然是指不管次序而且是在R-同構的意義下。所以，一般討論阿廷環R上的有限生成模，為了方便起見，下面我們主要談阿廷代數A，基域F是代數閉的，模都是指有限生成A模。
如果A是半單的，模的分類情況比較簡單，這時候不可分解模與不可約模一致，不可約模只有限個，它的個數等於A的中心Z(A)的維數，A的不可約模都在A的正則表示的分解中出現，而且出現的次數正好等於這個不可約模的維數，即若
為A的所有不同的不可約模，則有
如果A不是半單的，A-模的分類就很複雜，像群的模表示論中一樣，除了要考慮不可約模外，還要考慮不可分解模。如果A的不可分解模只有有限個(同構算一樣)，就稱A為“有限表示型的代數”，以A作為A-模直和分解出的不可分解模，稱為“主不可分解模’，它當然只有有限個，它們與不可約模是一一對應的。主不可分解模有一個重要性質：任一個以主不可分解A-模U為同態像的A-模M，必然以U為直和項(即若有滿同態
，則
。不光是主不可分解模有這個性質，有這樣性質的模，就稱為“射影A-模”，與這個概念相對偶的是“內射A-模”：任一含A-模V，作為子模的A-模M，必然以V為直和項，(即若
，必存在M的子模N，使
，就稱V為內射A-模。內射模與射影模是模論中兩個極重要的概念，射影模的直和項都是射影模，射影模的直和也是射影模，A本身作為A-模(也叫正則表示)是射影模，若干個A的直和
(作為A-模)也是射影模，這種模稱為自由模，A的個數稱為這個自由模的秩。所以，自由模是射影模；射影模不一定是自由模，但一定是自由模的直和項。
