基本介紹
- 中文名:中間平行線
- 外文名:middle line between two parallel lines
- 所屬學科:數學(平面幾何)
- 相關概念:軌跡問題
含義,中間平行線的性質,在軌跡問題中的套用,套用舉例,
含義
中間平行線即平行線中間的平行線,是和兩條平行線間的距離相等的點的軌跡,和這兩條平行線距離相等的一條平行線。
中間平行線的性質
中間平行線具有性質:
1.中間平行線上的點到兩平行線的距離相等。
2.在同一平面內,凡到兩條平行線距離相等的點必在中間平行線上,即到兩條平行線的距離相等的點的軌跡是中間平行線。
在軌跡問題中的套用
中間平行線即平行線中間的平行線,是一種基本軌跡,即和兩條已知平行線距離相等的點的軌跡,是在兩條平行線中間而和它們距離相等的一條平行線。
這個基本軌跡套用範圍是:①求距離兩已知平行線等遠的點,②求相切於兩條已知平行線的圓的圓心。
![圖1 圖1](/img/a/680/wY5UDNzQWOhVWM2EmY4UGO5ITMkFjYlBTZzMmY4QWOxEGMwgTM4QmNvMWaw9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
中間平行線軌跡的證明:
已知 EF// AB// CD,EF和AB之間的距離等於EF和CD之間的距離(圖1)。
求證 和AB、CD距離相等的點的軌跡是EF。
證明:
(1)純粹性
設P是EF上的任何一點。經過P點作垂直於AB的直線,分別交AB、CD於L、M,那么這條直線也和CD垂直。
∵EF和AB之間的距離等於EF和CD之間的距離,
∴ PL= PM。
這就是說,EF上的任何一點和AB、CD的距離都相等。
(2)完備性
設P'是不在EF上的任何一點。
經過P'作垂直於AB的直線,分別交AB、CD、EF於L'、M'、N',那么這條直線也和CD垂直。
∵P'不在EF上,
∴P'不和N'重合。
∵ 直線L'M'上和L'、M'距離相等的點只有線段L'M'的中點N',
∴ P'L'≠P'M'。
這就是說,不在EF上的任何一點和AB、CD的距離都不相等。
由(1)和(2)得,EF是和AB、CD距離相等的點的軌跡。
套用舉例
【例1】求作一圓,使它切於二已知平行線,且切於這二線間的一已知圓。
已知:二直線
及
間的⊙O。
![](/img/7/417/wZ2NnLyEWMhZTNilTOzMDN0YWYyADMkFmN2gjMhZTM4EmNjFzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/8/71f/wZ2NnLkVzN0E2YxQWNmZ2YlV2YmNjY1YTMwADZ5YjM0YzN1MzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
求作:⊙O'使它和
及⊙O都相切。
![](/img/8/71f/wZ2NnLkVzN0E2YxQWNmZ2YlV2YmNjY1YTMwADZ5YjM0YzN1MzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![圖2 圖2](/img/b/68a/QOwQWOwEzY4kDZjdzYjZWYlBjYjZTN4IjNzIGN5AjN3YWZiNGZhBzMvMWaw9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
分析
因為所求作的⊙O要與二平行線
都相切,故其圓心的軌跡是與
等距高的一條平行線
,其半徑R=d/2(d為
與
的距離)。
![](/img/8/71f/wZ2NnLkVzN0E2YxQWNmZ2YlV2YmNjY1YTMwADZ5YjM0YzN1MzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/8/71f/wZ2NnLkVzN0E2YxQWNmZ2YlV2YmNjY1YTMwADZ5YjM0YzN1MzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/7/a32/wZ2NnLmZGZ1QmZ0czM2QWM3MDO1UjY2UmNzkjMjhjMmBjZyM2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/5/ef8/wZ2NnLjFWO5cTZzImYzIDO5ITMiJGMwQWN4MWY2kjMhljN1YzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/1/5b1/wZ2NnLxcDOiZjN5ETMjhDM1YTNjVWZhRTYjhTM5AjY3kDM5gzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
設⊙O的半徑為r,若⊙O'與⊙O相外切,則OO'= R十r,故O'的軌跡是以O內圓心,以R+r內半徑的大⊙O,大⊙O與
的交點O'即內所求作的圓的圓心(有兩個解),若⊙O'與OO相內切,則OO'=R-r(R>r),故O'的軌跡是以O為圓心,以R-r內半徑的小⊙O,小⊙O與
的交點O''即內所求作的圓的圓心(也有兩個解)如圖。
![](/img/7/a32/wZ2NnLmZGZ1QmZ0czM2QWM3MDO1UjY2UmNzkjMjhjMmBjZyM2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/7/a32/wZ2NnLmZGZ1QmZ0czM2QWM3MDO1UjY2UmNzkjMjhjMmBjZyM2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)